Tidlig algebra på mellomtrinnet – bli kjent med det ukjente
Kandidatnummer 3 & 5
I dette blogginnlegget skal vi presentere et undersøkende undervisningsopplegg for elever på 5. trinn som bygger på forskning om tidlig algebra. Bakgrunnen for valg av tematikken er at norske elever fikk svake resultater på TIMSS (trends in international mathematics and science study) 2015 innenfor emneområdet algebra, sammenlignet med andre emner (Bergem, 2016).
TIMSS er en undersøkelse som gjennomføres hvert fjerde år på 5. og 9. trinn i emnene matematikk og naturfag. Formålet med undersøkelsen er blant annet å få en oversikt over hvordan elever presterer innenfor ulike emneområder i matematikk. Slike stor-skala undersøkelser har som hensikt å si noe om elevprestasjoner på nasjonalt nivå, og resultatene kan for eksempel brukes til å utvikle utdanningspolitikken i et land (Suurtamm et. al., 2016).
 |
| Figur 1: Prestasjoner per emneområde på 9. trinn |
Historisk sett har man definert algebra som et verktøy for å manipulere symboler og for å løse problemer (Kieran, 2007). Denne måten å se på algebra i skolen, kan også vise seg å være en av grunnene til at norske elever synes akkurat dette temaet er så vanskelig (1). Førsteamanuensis Tom Rune Kongelf ved høgsskolen i vestlandet mener at denne tilnærmingen til algebra i skolen kan kobles til hvordan lærebøkene i faget er lagt opp. Den tradisjonelle tilnærmingen bøkene ofte har til algebra er regning med bokstaver, uten at man trenger å vite hva bokstavene egentlig står for. Videre sier han:
– Den introduksjonsmåten vi skal bruke her i Norge, er å «generalisere tallære». Dette er vegen å gå om algebraen ikkje skal vere eit problemområde, og det er ein ganske ny måte å lære algebra på. Eg trur dessverre ikkje alle som skriv lærebøker er kjende med denne tilnærminga endå, seier Kongelf. (2)
Vår oppgave som lærere vil være å fremme en mer helhetlig og generell forståelse omkring algebra. Å implementere algebraen tidligere i opplæringen som en del av den grunnleggende tallforståelsen, aritmetikken, kan hindre at algebra blir den store, stygge ulven i matematikkfaget.
Algebra må forstås, ikke pugges
Algebra er kanskje det temaet i matematikkfaget som er mest preget av algoritmer og regler. Tradisjonell, lærerbokstyrt undervisning kan bidra til å nettopp fremme en forståelse av at algebra er et puggefag. Vi ønsker et utforskende fokus i vårt undervisningopplegg for å fremme en mer helhetlig forståelse av temaet, og samtidig forbedre den prosedurale kunnskapen til elevene. For å få til dette mener Cuoco og kolleger (1996) at elevene bør oppfordres til å finne mønstre, beskrive prosesser, argumentere, utforske og være oppfinnere (Matematikksenteret, u.å). Denne undersøkende tilnærmingen til matematikk som Cuoco m. fler beskriver kan vi kjenne igjen fra både kompetansemålene og kjerneelementene i den nye læreplanen.
Videre i innlegget vil vi komme nærmere inn på begrepene tidlig algebra, instrumentell- og relasjonell forståelse og konseptuell- og prosedural kunnskap. I tillegg vil i korte trekk ta for oss fagfornyelsen og kjerneelementene, undersøkende matematikkundervisning og kommunikasjon i klasserommet.
Pre-algebra vs. tidlig algebra
Man kan se på to ulike tilnærminger til den opplæringen som skjer før algebraen innføres på ungdomsskolen; pre-algebra og tidlig algebra.
 |
| Figur 2: Pre-algebra vs. tidlig algebra |
Det som skiller disse to tilnærmingene er hvordan man ser på innføringen av algebra i skolen (Stenberg, 2016)(Carraher & Schliemann, 2007). Som vi kan se på modellen om pre-algebra foregår innføringen som en bro mellom grunnleggende tallforståelse og algebraen. Derimot i tidlig algebra ser man på aritmetikken som en del av algebraen. Algebraen skal ikke innføres som et eget emne i seg selv, men en måte å tenke på innenfor aritmetikken. Tidlig algebra kan bidra til å gjøre overgangen til algebra lettere for elevene, og fremme en helhetlig forståelse av matematikken.
Booth (1988, s.29, i Carraher & Schliemann, 2007) mener at utfordringer elever møter på i algebraen ikke nødvendigvis handler om algebraen i seg selv, men utfordringer med den grunnleggende tallæren. Et eksempel på dette er hvordan man forstår likhetstegnet; elevene kan forbinde likhetstegnet med at det skal komme et svar etter tegnet, som igjen kan føre til utfordringer når man skal innføre algebra. Ved å innføre algebra tidlig i opplæringen, vil elevene få forståelse for at likhetstegnet kan settes i flere forskjellige sammenhenger. For eksempel som tegn på likeverdighet, forhold, symmetri og omforming.
Fagfornyelsen og kjerneelementer
I etterkant av TIMSS 2015 har det norske læreplanverket blitt revidert. Fra og med i år starter implementeringen av Læreplanverket for Kunnskapsløftet 2020, videre i teksten vil vi bruke forkortelsen LK-20. Et nytt og spennende element i LK-20 er kjerneelementene. Kort fortalt er kjerneelementene det mest sentrale elevene skal lære innenfor hvert fagområde. I matematikk finner vi følgende kjerneelementer; utforsking og problemløsning, modellering og anvendelse, resonnering og argumentasjon, representasjon og kommunikasjon, abstraksjon og generalisering, og matematisk kunnskapsområde. Vi ønsker å knytte vårt undervisningsopplegg mot kjerneelementene utforskning, resonnering og argumentasjon.
 |
Slik vi ser det er kjerneelementene
utforsking, resonnering og argumentasjon i matematikken svært viktig for å
kunne bygge opp om en dypere forståelse for matematiske sammenhenger – noe vi
tenker kan minne om en relasjonell
forståelse eller konseptuell kunnskap
blant elevene.
Relasjonell forståelse og konseptuell kunnskap
Matematikkfaget har nok tradisjonelt blitt sett på som et puggefag der man kommer frem til løsningen ved å huske en rekke regler og prosedyrer. En slik forståelse kaller Skemp (1976) for instrumentell forståelse av matematikk, «rules without reasons». Motsetningen til denne måten å forstå matematikk på er den relasjonelle forståelsen; her har man en grunnleggende forståelse for hvorfor man gjør som man gjør (Skemp, 1976).
 |
| Figur 4: Instrumentell forståelse (fragmenter kunnskap) og relasjonell forståelse (relasjoner mellom kunnskapsområder) |
En annen tilnærming i matematikkdidaktikken handler om hvordan elever burde lære matematikk. Burde man ha fokus på hvordan eller hvorfor man gjør som man gjør? Hibert og Lefevre (1986) kaller dette henholdsvis for procedural knowledge (prosedural kunnskap) og conceptual knowledge (konseptuell kunnskap):
 |
| Figur 5: Konseptuell - og prosedural kunnskap |
Skemps teori viser til at relasjonell og instrumentell forståelse er to motpoler, hvor du kun
befinner deg på den ene siden av skalaen. Den ene formen for forståelse utelukker den andre. I motsetning vil prosedyrekunnskap og konseptuell kunnskap ikke gjensidig utelukke hverandre. Men det kan være fristende å plassere disse på hver sin side av en skala, slik man gjør med Skemps to forståelser. Kieran (2013) mener at å forstå konseptuell - og prosedyrekunnskap som to kategorier som utelukker hverandre er et utpreget fenomen i skolen. Dette har vært spesielt synlig i algebraen som lenge har vært mer preget av regler og prosedyrer, enn at eleven faktisk forstår det de gjør.
Undersøkende matematikkundervisning
Artigue og Blomhøj (2013) definerer undersøkende undervisning som en måte å undervise på, hvor elevene får anledning til å arbeide på tilsvarende måte som en forsker/matematiker gjør.
Den amerikanske pedagogen John Dewey er kjent for sin teori «learning by doing» som beskriver hvordan vi best tilegner oss kunnskap gjennom utforsking og refleksjon over erfaringer og resultater av en gitt oppgave eller et problem (Blomhøj, 2016). Deweys teori legger vekt på hvordan man skal sette søkelys på læringsprosessen fram til et svar enn selve svaret. Ved å ha fokus på læringsprosessen vil elevene kunne være i stand til å kunne svare på hvorfor man har fått det resultatet man har fått og da vise sin konseptuelle kunnskap i faget.
Forskning gjort av Boaler (2015) viser hvordan undersøkende undervisning er positivt for elevers motivasjon for matematikkfaget og hvordan elevenes læringsutbytte øker ved bruk av en slik undervisningsform. Hun poengterer viktigheten av at elevene får arbeide som forskere i matematikken, altså være nysgjerrige, stille spørsmål, reflektere og komme med ulike løsninger til problemet - noe definisjonen til Artigue og Blomhøj (2013) og Deweys læringsteori (Blomhøj, 2016) støtter opp om.
Selv om det viser seg at undersøkende undervisning er positivt for elevenes motivasjon og læring, vil det for mange lærere være en utfordring å faktisk planlegge og gjennomføre en slik form for undervisning. Blomhøj (2016) har utviklet tre hovedpunkter læreren bør tenke på i planleggingen av en undersøkende matematikkundervisning;
a. Læreren må gjennom sitt undervisningsopplegg legge til rette for nysgjerrighet, spørsmål og undring blant elevene, slik at elevene kan ta det med seg videre i arbeidet, og som til slutt gir grunnlag for faglig læring i klassen.
b. Det må etableres faglige og pedagogiske forutsetninger for elevenes undersøkende arbeid.
c. Elevenes resultater og refleksjoner må kunne gi grunnlag for videre læringsprogresjon.
De tre punktetene beskrevet over har Blomhøj (2016) brukt som grunnlag til å beskrive strukturen, eller gjennomførelsen, av en undersøkende undervisning. Han deler strukturen i tre hovedfaser;
 |
| Figur 6: Blomhøjs tre faser av undersøkende undervisning Gjennom disse tre fasene mener Blomhøj (2016) at typiske læreraktiviteter vil oppstå, eksempelvis; læreren inspirerer elevene til en undersøkende holdning til matematikk, læreren skaper rom for samspill i klasserommet, læreren stiller åpne og nysgjerrige spørsmål til elevenes arbeid, læreren er nysgjerrig på elevenes arbeid og anerkjenner ulike strategier. Det er viktig å poengtere at slike læreraktiviteter ikke bare tilhører en undersøkende form for undervisning, men at de til sammen kan bidra til å karakterisere undervisningen som undersøkende. Læreraktiviteter nevnt ovenfor vil være gode forutsetninger for den matematiske samtalen i klasserommet mellom lærer og elev. Smith og Stein (2011) har utviklet et rammeverk kalt «fem praksiser» på hvordan man som lærer kan planlegge og gjennomføre produktive matematiske samtaler basert på elevenes tenkning; (1) anticipating, (2) monitoring, (3) selecting, (4) sequencing og (5) connecting. Vi har valgt å oversette fasene slik; forvente, observere, velge ut, bestemme rekkefølgen og se sammenhenger. Hver av de fem praksisene bygger på den foregående slik at samtalene kan bli mer produktive og målrettet. De fem praksisene kort oppsummert (Smith & Stein, 2011):
|
Utgangspunktet for undervisningsopplegget
Innenfor tidlig algebra ser man på tre ulike tilnærminger for å løse likninger: quantitative reasoning, numerical reasoning og functional reasoning (Carraher & Schliemann, 2007). Undervisningsopplegget vil i utgangspunktet legge til rette for det som Carraher og Schliemann betegner som quantitative reasoning, og på grunn av oppgavens omfang og oppleggets målgruppe vil vi derfor kun utdype denne tilnærmingen. Quantitative reasoning vil si at elevene resonnerer seg frem til løsningene ved uformelle metoder. Sett fra et tidlig algebra perspektiv ønsker vi at undervisningsopplegget skal fungere som en introduksjon til generalisering av aritmetikken. Det er derfor ikke nødvendig at elevene har arbeidet med algebra fra før eller kjenner til algebraiske notasjoner.
En introduksjon til algebra: bli kjent med det ukjente
Tidsbruk: ca. 90-120 minutter
Undervisningsopplegget har en undersøkende tilnærming og bygge på undersøkende aktiviteter, i form av «mystery number puzzles». Ved å arbeide med slike oppgaver ønsker vi at elevene skal bli kjent med det ukjente og utfordre deres evner til å resonnere over og argumentere for deres matematiske tenkning.
I tillegg til at læreren gjør underveisvurdering, ønsker vi også at elevene skal være bevisst på sin egen læring (egenvurdering) ved å synliggjøre læringen sin for hverandre, og vurdere og reflektere over andres løsninger (Wiliam, 2018).
Opplegget fase for fase
Fase 1: Iscenesettelse
Tidsbruk: ca. 5-10 minutter
Innledningsvis setter læreren scenen for økten ved å introdusere oppgaven for elevene og sette forventinger for økten. I tråd med ideene fra «tidlig algebra» ønsker vi at introduksjonen ikke skal dreie seg om algebra begrepet i seg selv, men at læreren skaper nysgjerrighet rundt problemstillingen i oppgavene og legger til rette for undersøkende elevaktiviteter. Her er det ikke nødvendig at læreren gir en grundig gjennomgang av oppgavene, men heller skaper engasjement ved å stille spørsmål som «Kan dere hjelpe meg med å finne ut av mysteriet?»
Egne eksempel på mysterier:
Figur 8 og 9
Fase 2: Elevenes selvstendige, undersøkende arbeid.
Tidsbruk: ca. 50-60 minutter
a) I fase to struktureres undervisningen i par- og gruppearbeid. Læreren deler elevene først inn to og to elever i læringspar. I disse parene skal elevene sammen undersøke og resonnere for å finne ut av de mystiske regneoppgavene.
Lærenes rolle: observere og veilede
b) Neste steg er at læringsparene sammen skal lage en lignende oppgave, som et annet læringspar skal løse. I forkant av dette steget vil lærerens rolle som observatør vise seg å være viktig for innsikt i elevenes arbeid. Det vil være hensiktsmessig at læreren tar en felles diskusjon med utgangspunkt i observasjonene, og på den måten sørge for at elevene har skjønt konseptet og har et grunnlag til å kunne lage lignende oppgaver selv.
I utvikling av egne oppgaver, må elevene bruke ulike symboler eller tegninger for å kunne representere ulike tall. I tillegg til å få en forståelse for ulike typer representasjoner, gir dette muligheten for at elevene kan bruke sin kreativitet, skaperevne og benytte seg av egne interessefelt. F.eks. vil noen kunne ha glede av å tegne flagg, mens andre vil ha glede av å tegne ulike dyr.
Lærerens rolle: stille spørsmål og støtte i prosessen.
c) Når elevene har utviklet egne oppgaver i parene, skal de bytte oppgaver med et annet læringspar. Parene løser hverandres oppgaver, og når de har løst de, går parene sammen gruppevis og gjennomgår hverandres løsninger. I denne delen av arbeidet legger læreren til rette for samspill mellom elevene ved at de får formidlet sin matematiske tenking, argumentere for egne løsninger, lytte og respondere til medelevers resonnement og vurdere hverandres matematiske løsninger.
Lærerens rolle: observere og velge ut.
Fase 3: Felles refleksjon og faglig læring.
Tidsbruk: ca. 20-30 minutter
I den siste fasen ønsker vi at erfaringer skal deles gjennom en samtale i plenum. Læreren tar utgangspunkt i observasjonene fra fase 2 c) for å velge ut hvem som skal presentere løsningene sine først, det Smith & Stein(2011) betegner som å bestemme rekkefølge. Det er hensiktsmessig at alle parene skal få presentere sine løsninger for at læreren skal ha mulighet til å anerkjenne og verdsette elevenes arbeid. Når ulike løsninger og strategier blir delt, vil det kunne bidra til at elevene ser at det finnes mange måter å løse den samme oppgaven på, og på den måten utvikles elevenes matematiske repertoar (Kazemi & Hintz, 2019).
Lærerens rolle: anerkjenner elevenes strategier og trekker frem viktig faglige poeng og koblinger.
Vurdering:
- Lærens aktive rolle i den undersøkende undervisningen gir mulighet til en kontinuerlig vurdering underveis i form av at læreren stiller spørsmål (og veileder) som fremmer elevenes matematiske tenkning.
- Læreren får innsikt i elevenes tanker og strategier gjennom både parvis kommunikasjon, gruppearbeidet og plenumssamtalen. Innsikten kan læreren benytte seg av for videre undervisning og elevenes læringsprogresjon innenfor emnet algebra.
- Ved å dele løsninger innad i gruppene og i plenum vil elevene få innsikt i andres arbeid, og på den måten få mulighet til å reflektere over egen læring. Elevene vil fungere som nyttige ressurser for hverandre!
Noe å ha i bakhodet:
- Enkelte elever kan legge sin flid i tegneoppgaven i fase to. Her kan det være lurt at læreren setter tidsbegrensninger slik at man ikke bruker for mye tid på illustrasjoner.
- Elevens nivå i matematikk må tas i betraktning når læringsparene settes sammen. William (2018) mener at kombinasjon av ferdighetsnivå vil kunne påvirke læringen, og påpeker at det vil være hensiktsmessig å dele inn par etter middels med de svake og middels med de sterke, for å få best mulig læringsutbytte.
- For å lage egne oppgaver, krever det at elevene har en god forståelse av konseptet oppgavene baserer seg på. Siden dette er en introduksjon til temaet, er det ikke sikkert at alle elevene oppnår dette. Læreren må evne å veilede og støtte elevene i denne prosessen.
Oppsummering
TIMSS-undersøkelsen fra 2015 viser at norske elever sliter med algebra. For mange er algebra den store, stygge ulven i matematikkundervisningen. Vi som lærere har derfor en viktig oppgave med å ufarliggjøre algebra. Ved å implementere algebra tidlig i opplæringen som en generalisering av aritmetikken, kan man bidra til at elevene tidlig får en relasjonell forståelse av matematikkens mange områder. Den nye læreplanen (LK-20) vektlegger blant annet utforskende arbeid, argumentasjon og resonnering som viktige elementer i matematikkfaget. For å skape en relasjonell forståelse i algebra vil disse tre kjerneelementene være spesielt viktig. Undersøkende matematikk er en undervisningsform som kan fremme alle disse tre elementene. Undervisningsopplegget ovenfor er et eksempel på hvordan man kan introdusere algebra på en ufarlig og uformell måte.
Referanseliste
Artigue, M. & Blomhøj, M. (2013) Conceptualizing inquiry-based education in mathematics. ZDM Mathematics Education 45, 797-810. https://doi.org/10.1007/s11858-013-0506-6
Bergem, O.K. (2016). Hovedresultater i matematikk. I Bergem, O.K., Kaarstein, H. & Nilsen, T. (red.), Vi kan lykkes i realfag: resultater og analyser av TIMSS 2015. (s.22-43). Sandefjord: Universitetsforlaget.
Blomhøj, M. (2016). Fagdidaktik i matematik. (1.utgave). Frydenlund.
Boaler, J. (2015). The Elephant in the Classroom. Helping Children Learn and Love Maths. London: Souvenir Press Ltd.
Carraher, D. & Schliemann, A.D. (2007) Early algebra and algebraic reasoning. I F.K Lester (Red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Greenwich: Information Age Publishing, Incorporated
Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986) Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introcutory analysis. Conceptual and prodecural knowledge: The case of mathematics. J. Hiebert. Hillsdale, NJ, Lawrence Erlbaum Associates.
Kazemi, E, & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale: hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner. (1.utgave). Oslo: Cappelen Damm
Kieran, C. (2013) The false dichotomy in mathematics education between conceptual understanding and procedural skills: an example from Algebra. I Vital directions for mathematics education research (s. 153-171). Springer New York.
Skemp, R. (1976) Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26.
Smith, M. S. & Stein, M. K. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics
Store Norske Leksikon (2020). Aritmetikk. Hentet fra https://snl.no/aritmetikk
Stenberg, R. (2016) Tidlig Algebra – en studie av tidlig algebra med elever på 6. trinn (Masteroppgave) Hentet fra: https://uia.brage.unit.no/uia-xmlui/bitstream/handle/11250/2412392/Stenberg%2C%20Ronny.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Suurtamm, C., Thompson, D.R., Kim, R.Y., Moreno, L.D., Sayac, N., Schukajlow, S., Silver, E., Ufer, S., Vos, P. (2016) Assessment in mathematics education. Springer International Publishing
Utdanningsdirektoratet. (2020). Læreplan i matematikk (MAT01-05). Hentet fra: https://www.udir.no/lk20/mat01-05
Wiliam, D. (2018). Embedded formative assessment. Bloomington: Solution Tree Press.
Kommentarer
Legg inn en kommentar