Bruk av programmering i sannsynlighet 

Tidligere har programmering blitt lite vektlagt i skolen. I læreplanen fra 2006, står det ingenting om bruk av programmering i skolen. I presentasjonen av en av de grunnleggende ferdighetene i LK06, digitale ferdigheter, nevnes ikke bruken av programmering matematikkundervisning (Utdanningsdirektoratet, 2013). Derimot i den nye lærerplanen fra 2020, finner vi nettopp det. Programmering har funnet sin plass i skolen og er blitt en del av matematikkfaget. Fra lærerplanen 2020 står det under digitale ferdigheter i matematikk at; digitale ferdigheter innebærer å kunne bruke dynamisk geometriprogrammering og programmering for å utforske og løse matematiske problemer (Utdannigsdirektoratet, 2020). 

 

Figur 1: Forsidebilde fra kunnskapsløfte

Undervisning i sannsynlighet

Stohl har observert at suksessen til pensum som er med på å utvikle elevene forståelse for sannsynlighet og deres evne til å argumentere innen sannsynlighet bygger på lærerens forståelse av sannsynlighet og deres forståelse av elevenes misoppfatninger.  Stohl har også sett på ulike komponenter som må være til stedet hos matematikklæreren. Disse er: matematisk kunnskap, pedagogisk kunnskap og kunnskap om elevenes evne til å innhente kunnskap og forståelse (Jones, Langrall, & Mooney, 2007, ss. 932-933). 

Læring av sannsynlighet

Brousseau, Brousseau og Warfield gjennomførte en studie av et læringseksperiment fra 1970 fra Frankrike hvor de så på pedagogikken i sannsynlighet. En av de strategiene de oppdaget i studien var at elevens forståelse innenfor sannsynlighet bygget på deres mulig til å delta i empirisk utforskning og deres mulighet til å delta i innsamling av egen data. Selv om denne dataen er fra enn annen tid, viser dagens forskning at den fortsatt står sterk. Castro (1998) så på virkning av to forskjellige læringsstrategier, tradisjonell og konseptuell endring. Han legger så frem at konseptuell endring gir elevene økende ferdighet i sannsynlighetsregning og øker deres evne til argumentasjon innenfor sannsynlighet. Han viser også til tre faktorer som er avgjørende for undervisning i sannsynlighet: a) ta hensyn til elevene forkunnskap og forståelse, b) gi elevene et utforskende fokus, og c) arbeide mot å endre elevenes misoppfatninger. Det siste punktet står tett med hans funn om at elevene med misoppfatninger ofte hadde tradisjonell undervisning. Arbeidet med misoppfatning og det å utfordre elevene til refleksjon er ikke akkurat nytt i forskning, men det har en signifikant betydning for undervisning i sannsynlighet (Jones, Langrall, & Mooney, 2007, s. 936). (Utdannigsdirektoratet, 2020)

Figur 2: Bilder viser en fiktiv situasjon der læreren går raskt gjennom løsningsmåte. Elev nr 1 sitter igjen med en misforståelse.

Bruk av datamaskin i sannsynlighet

Cliff Konold var en av de som først startet forskning på bruk av datamaskin i arbeid med sannsynlighet. Noe av det viktigste han fant ut i forskningen var at bruken av programvaredesign kan hjelpe elevene til forståelse og fremheve forståelse. Pratt og Stohl har også forskning på bruk av forskjellige programmer i sannsynlighetsundervisning. Forskningen til både Pratt og Stohl kom etter forskningen til Konold. Ut ifra sin egen forskning så Stohl at simuleringsprogram der elevene kan undersøke selv vil være med å gi elevene en dypere forståelse om hvordan teoretisk sannsynlighet, empirisk sannsynlighet og utvalg kan brukes til å gjøre en slutning (Jones, Langrall, & Mooney, 2007, s. 937). 

I tillegg til forskning på bruk av programmer i sannsynlighet, så Pratt på noen pedagogiske retningslinjer for sannsynlighetsundervisning. Den første handler at oppgaven som blir gitt har et formål. En oppgave der elevene ser formålet med kan gjøre at de ser nødvendigheten og bruken av enkelte matematiske ferdigheter. Den neste handler om å koble sammen kunnskapen elevene har. Den nye kunnskapen elevene skal lære skal kunne kobles sammen med kunnskap de har. Den siste handler om store eksperimenter, og betyr at elevene skal tenke gjennom selv hvor mange ganger de skal gjennomføre et eksperiment i sannsynlighet. Oppgaven som blir gitt skal gi elevene mulighet til å gjennomføre eksperimentet gjentatte ganger, samtidig som den også oppfordrer elevene til det (Jones, Langrall, & Mooney, 2007, s. 938). 

Conceptual and Procedural knowlegde

Conceptual knowlegde vil si kunnskap der flere biter av informasjon er knyttet sammen. Det er en rik form for kunnskap som handler om forholdet mellom to biter informasjon. Måten man kan få conceptual knowlegde på er at to biter med informasjon som allerede er eksisterende blir til kunnskap eller at elevene har en bit informasjon og få får en bit til og det skapet kunnskap (Hiebert & Lefevre, 1986, ss. 3-4). Procedural knowlegde handler om to forskjellige deler. Den ene handler om et mer formelt språk, blant annet symboler. Den andre delen handler om algoritmer, regler og prosedyrer (Hiebert & Lefevre, 1986, s. 6).  Denne måten å se på kunnskap på kan sammenlignes med relasjonell og instrumentell forståelse som blir presentert i Skemp (1976). Skemp (1976) forklarer instrumentell forståelse om regler uten grunn, altså regler uten noe forståelse for hvorfor. Siden mange underviser slik at elevene får instrumentell forståelse gir det mening at det er noen grunner til at det blir gjort. En av grunnene er at det er enklere å forstå, det gir elevene en rask mestringsfølelse av å få riktige svar og man kan ofte så svarene ganske mye raskere enn ved relasjonell forståelse (Skamp, 1976, s. 8). Vi kan se en sammenheng mellom både conseptual knowlegde og relasjonell forståelse, samt procedural og instrumentell forståelse. Det er ikke slik at de betyr eller omhandler det samme og det er forskjeller mellom dem, men vi kan også se likheter. En av forskjellene vil være at begge kunnskapene kan oppstå samtidig, men du kan ikke ha både relasjonell og instrumentell forståelse på en gang. 

Kommunikasjon 

Det finnes fem praksiser for ledig av god matematisk samtale. Disse fem praksisene skal hjelpe læreren til å bruke elevsvar for å fremme god forståelse for klassen som helhet. Praksisene skal gjøre slik at læreren sitter med store deler av kontrollen. De fem praksisene er: forutse, overvåking, utvalg, følge og koble sammen. Den første, forutse, handler om at læreren på forhånd kan tenke gjennom hvilke elevsvar man får. Det handler om blant annet å forutse hvilke strategier som kan forekomme ved en gitt oppgave, både de riktige strategier og de gale (Smith & Stein, 2011, ss. 7-8). Neste praksis, overvåking, handler om at å følge nøye med på elevenes tankegang og strategibruk. Her handler det også om at læreren må stille spørsmål for å få frem elevenes tanker. Utvalg handler om at læreren nå skal velge ut noe få elever der deres arbeid kan deles med klassen. Læreren velger disse elevene fordi læreren føler selv disse er viktige for resten av klassen å få innblikk i, samt at læreren mener de passer til målet for timen (Smith & Stein, 2011, ss. 9-10). Følge/rekkefølge handler om at læreren tenker gjennom hvilken rekkefølge elevene skal få presentere deres arbeid. Dette må læreren se på, med tanke på hva som ligger naturlig og se det opp mot målet for timen. Eksempel å la en av de elevene som har det flertallet har presentere først og så en elev som har noe annerledes etterpå. Til slutt finner vi, koble sammen, som handler om at læreren kobler sammen alt som er presentert og kobler dette opp mot målet for timen. Læreren hjelper elevene til å se konsekvensene at de forskjellige strategiene. Hele poenget med fem praksiser er å gi kontrollen til læreren, ved å gi læreren kontrollen over hva som blir presentert og hva som skal diskuteres (Smith & Stein, 2011, ss. 10-12). 

Ved hjelp av denne måten å bruke kommunikasjon på i undervisningen kan det være med på å skape de sosiomatematiske normene i klasserommet. Sosiomatematiske normer handler om hva som er forskjellig, sofistikert, effektivt og elegant i et klasserom. Det handler om det elevene forventer er akseptabel matematisk forklaring (Yackel & Cobb, 1996, s. 461). 

I mitt undervisningsopplegg kunne denne måten å arbeide på være sentralt. Elevene arbeider med å lage sine mikro; bit og programmerer. Jeg som lærer kan gå rundt å observere elevene mens de arbeider. Jeg kan velge ut noen som jeg observerte gjorde det veldig bra, som kan være viktig å presentere før klassen. Til slutt er det viktig å koble sammen det som blir presentert opp mot målet for timen. 

Undervisningsopplegg

Sannsynlighet ved hjelp av programmering 

Målet med undervisningen: 

Elevene skal simulere terningkast med to terninger ved hjelp av programmet mikro; bit. Som forarbeid før selve programmeringsfeilen skal elevene arbeide med sannsynligheten av et utfall med to terninger. Elevene skal spille spill der de får bruke to terninger og de skal lage tabell og frekvenstabell med sannsynligheten for et utfall med to terninger. Når elevene har gjort dette kan vi arbeide videre med programmering. Målet med programmeringen er at elevene skal få en forståelse for sannsynligheten for et utfall med to terninger. Grunnen til at man kan bruke mikro; bit vil være at man kan gjennomføre større eksperimenter. Elevene skal gjennomføre mange flere terningkast gjennom mikro; bit og finne frekvensen for hvert utfall. Deretter sammenligne det med frekvenstabellen som allerede er lagd. 

Undervisningsopplegget bygger på dette kompetansemålet fra 9.trinn: 

- simulere utfall i tilfeldige forsøk og berekne sannsynet for at noko skal inntreffe, ved å bruke programmering. 

Før å kunne gjennomføre en slik økt er det noen faktorer som må være på plass. Skolen eller klassen må eie mikro; bit, en mikro USB-kabel og en datamaskin. Mikro; bit er en bitteliten datamaskin som kan programmeres til å gjennomføre forskjellige oppgaver. 

Gjennomføring av økten

Denne undervisningsøkten må gjennomføres på to økter, der i den første timen vil tiden gå til spillet og laging av tabellen. Den første timen blir også en enkel introduksjon til mikro; bit. Det er greit at elevene har en forståelse for hvordan programmeringen på datamaskinen foregår. Det kan også være greit at elevene er delvis kjent med både mikro; bit og enkel programmering på forhånd. I økten der elevene skal programmere selv og simulere sannsynlighet av terningkast med to terninger, skal de arbeide sammen i grupper. Gruppene må ikke være alt før store, så 2 til 3 personer på hver gruppe er nokk. Elevene får hver sin mikro;bit, USB-kabel og datamaskin. I skriveboken deres har de fra timen før en tabell over sannsynligheten for de forskjellige utfallene. Elevene skal nå programmere mikro; biten til å kaste to terninger og registrere hvilket svar som blir gitt. Ved hjelp av mikro; bit er det lettere for elevene å simulere mange terningkast. Når elevene har gjennomført kodingen og utført mange forsøk skal de sammenligne dette med den teorien de arbeidet med forrige time. Elevene får også en utfordring i å prøve mange forskjellige antall forsøk. For så å sammenligne disse, hvor mange forsøk må til for å komme nærmest den forventede sannsynligheten?

  

Figur 3: Viser en mikro; bit koblet opp mot en datamaskin.

Vurdering

Hovedpoenget innenfor vurdering er at oppgaven/undervisningsopplegget som skal gjennomføres skal gi elevene mulighet til å skape læring selv og gi dem mulighet til å demonstrere sin kunnskap. Undervisningen skal ha et fokus på problemløsning, modellering og refleksjon (Suurtamm, et al., 2016) . Nedenfor ser vi en tabell som viser vurderingskriterier fra forskjellige perspektiver som formativ vurdering, kompetanse, formålsvurdering og vurdering for prøver og tester. Innenfor vurdering av kompetanse finner vi blant annet at elevene forstår viktige sammenhenger. Disse punktene må selvfølgelig omgjøres til at de passer den gitte oppgaven/undervisningsopplegget (Suurtamm, et al., 2016). 

 

Figur 4: Vurderingskriterier fra forskjellige perspektiver.

I mitt undervisningsopplegg kan formativ vurdering være sentralt. Feedback underveis i arbeidet gir elevene en forståelse for deres egen læring. Det kan også hjelpe dem med å vite hvor de ligger i forhold til målet for timen. Vurdering av elevenes kunnskap kan også være relevant. Elevene får kunnskap om hvordan man bruker programmering for å simulere terningkast. Elevene får forståelse for store talls lov. Slike vurderinger kan man gjøre i denne type undervisningsopplegg. 

Bibliografi

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. Lawrence Erlbaum Associates, Inc. 

Jones, G. A., Langrall, C. W., & Mooney, E. S. (2007). Research in probability. responding to classroom realities. I M. L. Franke, E. Kazemi, & D. Battey, Matematics teaching and classrom practice. in F.K lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and læring. . NCTM.

Skamp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching.

Smith, M. S., & Stein, M. K. (2011). 5 practices. for Orchestrating Productive Mathematics Discussions. NCTM.

Suurtamm, c., Thompson, D., Kim, R., Moreno, L., Sayac, N., Schukajlow , S., . . . Vos, P. (2016). Assessment in Mathetics Education. Large-Scale Assessment and Classroom Assessment. Springer.

Utdannigsdirektoratet. (2020). udir.no. Hentet fra Læreplan i matematikk 1.–10. trinn (MAT01 05): https://www.udir.no/lk20/mat01-05?lang=nob

Utdanningsdirektoratet. (2013). udir.no. Hentet fra Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04) : https://www.udir.no/kl06/mat1-04

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Research in Mathematics Education.

Bilder/illustrasjoner: 

Bilde 1: hentet fra kunnskapsløfte

Bilde 2: illustrert selv 

Bilde 3: Hentet fra mikro;bit.org

Bilde 4: Hentet fra Assessment in Mathematics Education av Suurtamm.