Mitt basseng består av problemer og løsninger

 Kandidatnummer 14 og 17

Bilde 1 Fotografiet er tatt av Mylene2401, og hentet ned gratis fra Pixabay.

Det kan virke som at den pedagogiske pendelen igjen svinger mot problemløsningsbasert matematikkopplæring. Dette kan vi se internasjonalt i en rekke lands læreplaner i matematikk (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 764), men også her til lands. I Kunnskapsløftet 2020 står det som følger: «Matematikk skal førebu elevane på eit samfunn og arbeidsliv i utvikling ved å gi dei kompetanse i utforsking og problemløysing» (Utdanningsdirektoratet, 2020). Utforsking og problemløsning har kommet inn som et kjerneelement i matematikk, og dermed fått en betydelig plass og tyngde i den nye læreplanen sammenlignet med den forgående.

Dette er en av årsakene til at vi ønsket å utforske hvordan vi ifølge læreplanverket og forskning skal gi opplæring i og vurdere problemløsning i dagens skole. Først skal vi presentere relevant teori og forskning om problemløsning. Deretter presenterer vi et forskningsbasert undervisningsopplegg som vi selv har utformet og reflekterer rundt opplegget med å drøfte det opp mot tidligere presentert teori.

Problemløsning

Stanic & Kilpatrick (1989, i Schoenfeld, 1992, 14) identifiserer tre forskjellige tolkninger til begrepet problemløsning. I den første tolkningen, “problem solving as a context” blir problemene brukt som verktøy for å oppnå andre aktiviteter innenfor matematikk, og blir ikke sett på som et mål i seg selv. Den andre tolkningen er “problem solving as a skill” og fremhever betydningen av problemløsning som ferdighet. Denne tolkningen fremhever problemløsningens rolle i matematikk, men begge tolkningene ser på problemløsning som en kolleksjon av teknikker som kan læres, pugges og mestres (ibid.). Den tredje tolkningen er “problem solving as art”, og er i sterk kontrast med de to overnevnte tolkningene. Her tolkes problemløsning som kjernen av matematikk, om ikke matematikk i seg selv (ibid.), med begrunnelsen om at hovedpoenget med matematikkens eksistens er å løse problemer, og det vil si at matematikken består av problemer og løsninger (ibid.).

Lesh og Zawojewski (2007, s. 782) definerer problemløsning som, «interpreting a situation mathematically», altså å tolke en situasjon matematisk. Ifølge deres definisjon går en oppgave eller en aktivitet over til å være et problem dersom problemløseren må utvikle en mer produktiv tankegang rundt den gitte situasjonen. Dette innebærer å tolke situasjonen og å modellere problemet matematisk gjennom gjentatte sykluser for å oppnå forståelse (Lesh og Zawojewski, 2007, s. 782). Lester og Kehles (referert i Lesh og Zawojewski, 2007, s. 782) definisjon av problemløsning er lik, men knytter matematisk tolkning til en forståelse av matematikk som studiet av strukturer. En tolkning, beskrivelse eller forklaring er matematisk kun om den fokuserer på de strukturelle egenskapene ved den gitte situasjonen.

Utforskning og problemløsning ble innført som et kjerneelement i matematikk med Kunnskapsløftet 2020. Kjerneelementet beskriver hvordan problemløsning skal brukes i grunnopplæringen i norsk skole. Elevenes bruk og utvikling av strategier og fremgangsmåter skal vektlegges mer enn løsningene (Utdanningsdirektoratet, 2020). Elevene skal også kunne analysere og omforme både kjente og ukjente problemer, være i stand til å løse dem, og vurdere gyldigheten av løsningene (ibid.).

 

Det nye perspektivet på problemløsning

 

Tabell 1: Tabellen presenterer et tradisjonelt- og modelleringsperspektiv på problemløsning utviklet av Lesh and Doerr (2003), gjengitt i Lesh & Zawojewski, 2007, s. 783.

Tabellen ovenfor presenterer det tradisjonelle perspektivet og det nye, modell-og-modellerings perspektivet på problemløsning. Det tradisjonelle perspektivet presenter en tilnærming til problemløsning som i opplæringssammenheng omhandler grundig innlæring og opptrening av problemløsningsferdigheter og -prosedyrer på teoretiske matematiske problemer (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 783). Anvendt problemløsning ansees i dette perspektivet å være de mest avanserte problemene å løse, og vil derfor kun arbeides med etter at ferdighetene er godt opptrente (ibid., s. 783). 

Det andre og nye perspektivet, modell-og-modellerings perspektivet, kom som et resultat av to forskningsprosjekter implementert av Lesh og hans kolleger på 80-tallet (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 798). Prosjektene hadde som hensikt å uttrykke, teste og revidere perspektivet på læring og undervisning, noe de også gjorde. De observerte elevers gjennomgang av serier av modelleringssykluser hvor de integrerer, differensierer, reviderer og redefinerer deres eksisterende tankemønster (ibid., s. 798). Utviklingen skjedde sjeldent i enkle og endimensjonale handlinger, men i en kombinasjon av dimensjoner (ibid., s. 795).

Modell-og-modellerings perspektivet antar at matematikk læres gjennom problemløsning og at problemløsning er en matematisk modelleringsaktivitet (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 783). I motsetning til i det tradisjonelle perspektivet bruker elevene erfaringer fra anvendt problemløsning for å lære skolematematikken og å løse andre teoretiske problemer. Forskningsresultater indikerer at modell-og-modellerings perspektivet har potensialet til å forbedre læring og undervisning samtidig som man lærer problemløsning og matematikk (Lesh & Zawojewski, 2007, s.780). Interaksjonen mellom læring av problemløsning og læring av matematikk bidrar til at ferdighetene utvikles parallelt (ibid., s. 783).

 

Metakognisjon

John Flavell (1976, i Wiliam, 2018, s. 174), som har vært med på å utvikle begrepet metakognisjon, definerer begrepet som kunnskap om egne kognitive prosesser og produkter, og alt knyttet til dem. Metakognisjon deles inn i tre kategorier, metakognitiv kunnskap, det man vet, metakognitive ferdigheter, det man kan gjøre, og metakognitiv erfaring, det man vet om egne kognitive ferdigheter. Wilson og Clark (referert i Lesh & Zawojevski, 2007, s. 771) dokumenterte i sin forskning koblingen mellom metakognisjon og problemløsning. De fant ut at elever bruker de metakognitive handlingene, bevissthet om egen tankeprosess, selvevaluering og selvregulering i problemløsningsprosesser (ibid., s. 771). Lester, Garafalo og Kroll har gjennom sin forskning beskrevet innlæringen av metakognitive strategier, og det er en enighet om at det bør læres i kontekster der man også lærer matematikk (Lesh & Zawojevski, 2007, s. 763). 

Den metakognitive spørsmålsfasen inneholder tre forskjellige typer spørsmål, og de er tett knyttet opp mot de tre kategoriene av metakognisjon. 1) Spørsmål knyttet til forståelse, hvordan type oppgave er dette?, 2) Strategiske spørsmål, hvordan typer metoder er sannsynlig at er nyttig for å løse dette problemet?, og 3) Koblingsspørsmål, har jeg gjort noe tilsvarende før? (Wiliam, 2018, s. 175). Schoenfeld beskrev i sine tidlige studier hvordan elever kan trenes til å stille seg selv og medelever produktive metakognitive spørsmål gjennom hele problemløsningsprosessen (Lesh & Zawojevski, 2007, s. 772). Dette kan innlæres til elevene gjennom at man over tid stiller elevene spørsmål av disse typene i problemløsningsprosesser. Schoenfeld (1992, ibid., s. 772) kunne vise at elevene implementerte den nye metakognitive adferden og bruk av strategien gjennom at elevene diskuterte spørsmålene allerede før læreren kom og stilte de. Både Schoenfeld (1992) og Wiliam (2018) hevder at det å undervise i metakognitive strategier, bidrar til større utvikling hos elevene, og at elevene også blir flinkere til å generalisere det de har lært til nye situasjoner.

 

5 practices

Smith & Stein (2011, s. 8) introduserer “5 practices” som en metode for å organisere undervisning. “5 practices” fokuserer på elevenes tenking og gjør det til et nøkkelelement som resten av undervisningen planlegges rundt. “5 practices” er laget for at lærere skal best kunne utnytte elevenes svar og argumentasjon i undervisningen, og at elevene er mest mulige aktive i sin egen læring.

Figur 1: (Smith & Stein, 2011) "5 practices"; å forutse, å overvåke, å velge ut, å sekvensere, å koble sammen. 

«5 practices» består av fem dimensjoner (Smith & Stein, 2011, s.8). De fem dimensjonene er å forutse, å overvåke, å velge ut, å sekvensere, og å koble sammen. Dimensjonen om å forutse handler om å se for seg hvilke forskjellige tolkninger elevene kan gjøre på gitte oppgaver, og kunne planlegge responser til disse. Dette innebærer både gode argumentasjoner, og misoppfatninger. Å overvåke handler om å få oversikt over elevenes matematiske tankegang og løsningsstrategier mens de jobber med oppgaven. Dette kan for eksempel gjøres ved å gå rundt i klasserommet mens elevene jobber for seg selv eller i grupper. Å velge ut handler om å velge hvilke løsningsstrategier du tenker bør snakkes om i plenum. Å sekvensere handler om å sette disse strategiene i en hensiktsmessig rekkefølge, for eksempel fra den mest åpenbare strategien til de mer kompliserte strategier. Dette gjøres slik at alle elevene har muligheten til å henge med på forklaringene. Dimensjonen om å koble sammen handler om at læreren hjelper elevene til å lage koblinger mellom elevenes løsninger, og koblinger til de større matematiske ideene som timen handler om. Smith & Stein kaller “5 practices” som dyktig improvisasjon. Metoden krever at man er i stand til å gjøre mange viktige valg midt i undervisningen, men metoden gir også kunnskapen til å kunne gjøre disse valgene (ibid).  

 

Vurdering

Perspektivet på vurdering har gått fra å være en objektiv vurdering på kunnskap, til å bli en sosial praksis som støtter elevenes læring og har innflytelse på lærerens praksis (Suurtamm, 2016, s. 15). Vurdering skal være et redskap som elevene får noe ut av, og Suurtamm (2016) fremhever betydningen av «feedback», tilbakemelding, som en viktig del av formativ vurdering. Tilbakemelding gir elevene informasjon om hvordan de kan utvikle egen læring, og er et nøkkelelement i en produktiv læringskultur. Også læreplanen i matematikk tar for seg underveisvurdering som et læringsfremmende og kompetanseutviklende element, og sier at lærerens oppgave er å veilede og tilpasse opplæringen slik at elevene kan bruke veiledningen til å utvikle egen kompetanse (Utdanningsdirektoratet, 2020).

Thompson & Kaur (2011, i Suurtamm, 2016, s. 16) presenterer en multidimensjonal tilnærming til vurdering av elever kalt SPUR, som står for skill, properties, uses og representations. Skills er ferdigheter, slik som algoritmer og prosedyrer som brukes, properties, er forståelsen av underliggende prinsipper, uses, er bruk av applikasjoner, og representations som i bruk av diagrammer, bilder og andre visuelle måter å representere konsepter (ibid.). Vurderingsformen går ut på å sikre at lærere ikke bare underviser fra et balansert perspektiv, men også vurderer balansert (ibid.). Lærere kan bruke SPUR-tilnærmingen til vurdering gjennom å ta notater av elevenes kunnskaper, ferdigheter og holdninger innenfor de ulike kategoriene i løpet av arbeid med et tema over tid.

 

Forskningsbasert undervisningsopplegg

I den følgende delen skal vi presentere vårt egenproduserte undervisningsopplegg som er basert på tidligere presentert teori og forskning om problemløsning, metakognisjon, organisering av undervisning og vurdering. Først vil vi presentere undervisningsopplegget, deretter kobler vi innholdet opp mot tidligere presentert teori og til sist drøfte vurderingen av undervisningsopplegget.

Vi har valgt å ta utgangspunkt i følgende kompetansemål fra matematikk, etter 6. årstrinn:

-          “Utforske mål for areal og volum i praktiske situasjoner og representere de på ulike måter” (Utdanningsdirektoratet, 2020)

Kompetansemålet er knyttet opp mot kjerneelementene utforskning og problemløsning og representasjon og kommunikasjon i Kunnskapsløftet 2020. I dette undervisningsopplegget har vi kun tatt utgangspunkt i kompetansemålets kobling til kjerneelementet utforskning og problemløsning.

 

Vi har også valgt å formulere egne læringsmål som dette undervisningsopplegget vil berøre.

-          Jeg kan regne ut volum av en rekke geometriske figurer

-          Jeg kan velge målenhet for volum tilpasset situasjonen

-          Jeg kan utforme og løse matematiske problemer til praktiske situasjoner

-          Jeg kan tolke resultatene og argumentere for matematiske løsninger

 

Mitt basseng

Undervisningsopplegget er tenkt å gjennomføres på 6. trinn og vi har estimert tidsbruken til 2 x 60 min. Opplegget vårt består av flere problemer med økende vanskelighetsgrad. Problemene presenteres muntlig og elevene arbeider med å løse de i små grupper på 3-4 elever.

 

Bilde 2: Fotografiet er tatt av Fancycrave1, og hentet ned gratis fra Pixabay.

 

Problem 1: Tegn et svømmebasseng med mål i ønsket fasong og størrelse.

Problem 2: Hvor mye jord må man grave vekk for å kunne bygge bassenget?

Problem 3: Hvor mye vann trenger dere for å fylle bassenget?

Problem 4: Tegn et basseng som rommer 500 000 liter vann.

Problemene er utformet til å være såkalte «open-ended». Det innebærer at problemene har flere løsninger og at man kan bruke flere forskjellige løsningsmetoder på det gitte problemet. Elevene står også frie til å utforske bruk av målenheter som vil være ulike representasjoner for volum. Undervisningsopplegget er også designet rundt modell-og-modelleringsperspektivet på problemløsning hvor elevene vil lære og utvikle matematiske og problemløsnings ferdigheter parallelt.

 

Planlegging og gjennomføringen av undervisningsopplegget

I planleggingsfasen, er det viktig at læreren prøver å forutse de forskjellige tolkningene elevene kan gjøre utfra problemene, og slik vite hva som bør bygges videre på, og hvilke misforståelser som kan komme i møte. Formuleringene av problemene er ikke veldig utfyllende, og det blir da opp til hver enkelt gruppe å velge hvor enkelt eller avansert de ønsker å gjøre løsningene. Mange elever kan lage veldig kompliserte bassenger, og det kan være nødvendig å be elevene forenkle bassengene slik at de består av sammensatte former, som halvsirkler, rektangler eller trekanter, for at det skal være mulig å regne areal og volum av disse. Læreren har ansvar for å veilede og støtte elevene slik at de ender opp med et design som de vil kunne klare å løse og dermed kunne oppleve mestring. Læreren må dermed både forsøke å forutse elevenes valg og mulige feller og driver med tilpasset opplæring gjennom veiledning under gjennomføringen av undervisningsopplegget.

I overvåkningsfasen bør læreren få oversikt over hvordan elevene jobber, og hjelpe elevene med å rette opp misoppfatninger. Læreren bør ikke gi fremgangsmåten til elevene som ikke har skjønt hva problemet handler om, men oppfordre elevene til å prøve ut forskjellige metoder. Gjennom problemløsningsprosessen må elevene stille seg selv og medlemmene i samarbeidsgruppa metakognitive spørsmål for å løse problemene. «Hvilken type problem er dette?», «Hvilke metoder kan jeg bruke for å løse problemet?»,

«Har jeg gjort noe lignende før?». For at elevene skal utvikle sine metakognitive ferdigheter og bli trent opp til å stille seg selv metakognitive spørsmål, er det viktig at læreren modellerer dette for elevene, og læreren bør stille elever metakognitive spørsmål i denne fasen, og senere i koblingsfasen.

Læreren må bestemme hva og hvor mye som skal tas opp i plenum. Det siste og fjerde problemet bør iallfall tas opp i felleskap og til drøfting. Siden elevene opererer med like stort volum, kan denne oppgaven bidra til at elevene får forståelsen av sammenhengen mellom utstrekning og volum. Formen på bassenget vil kunne variere svært mye, uten at volumet endres. Når elevene jobber med dette problemet, bør læreren gå rundt og velge ut forskjellige strategier som man ønsker å ta frem til diskusjon med hele klassen.

Læreren kan deretter sekvensere disse strategiene, sette dem i en hensiktsmessig rekkefølge, slik at klassen klarer å følge med på de forskjellige strategiene. Det siste som må gjøres er å koble sammen strategier med de større matematiske ideene. Alle skal ha kommet frem til et basseng som rommer 500 000 liter, men et slikt basseng kan ha mange fasonger og forskjellige løsningsstrategier, og derfor er det interessant å utforske disse forskjellige løsningene i fellesskap. Elevene vil da bli kjent med en rekke andre løsninger på det samme problemet, og kunne lære av å følge de andre gruppenes problemløsningsstrategier og matematiske ideer.

 

Underveisvurdering

Til vurderingen av kompetansemålet kan man ta i bruk SPUR-metoden, og se på algoritmer og prosedyrer (skills), om elevene har regnet ut volumet av bassenget på en korrekt måte, og om det er riktig bruk av algoritmer. Videre kan man vurdere de underliggende prinsippene (properties), om elevene har skjønt kjernen i problemet, hva problemet egentlig handler om og klart å tolke resultatene av utførte prosedyrer. Videre vurderes hvordan bruker elevene resultatene de har fått (uses), og om elevene har visuelle fremstillinger av problemet representations).

Flere av kjennetegnene for elevenes læring og kompetanseutvikling som trekkes frem i læreplanen i matematikk kan brukes i vurdering av dette undervisningsopplegget.

Elevene viser og utvikler deres kompetanse:

-     Når de bruker matematiske begreper i kommunikasjon og argumentasjon

-      Når de bruker ulike representasjoner og strategier for å utforske sammenhenger i arbeid med geometriske figurer

-      Når de bruker kunnskaper og ferdigheter til å utforske, formulere og løse problemer som er knyttet til praktiske situasjoner

-      Når de resonnerer over og argumenterer for løsninger og matematiske sammenhenger

(Utdanningsdirektoratet, 2020).

Læreren skal legge til rette for at elevene har muligheter til å vise denne kompetansen ved å skape muligheter til å jobbe med matematiske problemer, samtale rundt matematiske problemer og resonnere og argumentere for sine og andres løsninger. En generell regel på formativ vurdering er å gi konstruktiv tilbakemelding til elevene om hva de har gjort bra, og hva de kan jobbe med videre, slik at de kan utvikle egen kompetanse.

 

Oppsummering

Til dette undervisningsopplegget hadde vi ikke mulighet til å gå inn på teori og forskning om læring og opplæring i geometri grunnet omfanget av oppgaven. Vi har valgt å se på problemløsning som metode, men om vi skulle videreutviklet dette undervisningsopplegget ville vi naturligvis studert og involvert teori og forskning omkring opplæring og læring av geometri som jo er temaet i undervisningsopplegget. 

Vi vurderer likevel at undervisningsopplegget er i tråd med læreplanens beskrivelser av kjerneelementet utforskning og problemløsning, samtidig som det bygger utvalget av presenterte forskningen om problemløsning, metakognisjon, organisering av undervisningen og vurdering.

 

Kilder: 

Koichu, B. (2014). Reflections on Problem-Solving. In Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground (p. 113-135). Springer Netherlands.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 334-370.

 

Stein, M.K., Smith, M.S. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics iscussions.

Suurtamm, C, Thompson, D., Kim, R., Moreno, Sayac, Schukajlow, S., Silver, E., Ufer, S. & Vos, P. (2016). Assessment in Mathematics Education: Large-scale Assessment and Classroom Assessment. ICME-13 Topical Surveys. Springer.

 

Utdanningsdirektoratet (2020). Læreplan i Matematikk 1-10 (MAT01-05). Hentet 6.10 fra https://www.udir.no/lk20/mat01-05

. Wiliam, D. (2017).Embedded formative assessment. Bloomington, IN: Solution Tree.

 

Bildekilde:

Bilde 1 :https://pixabay.com/no/photos/tusenfryd-blomster-5147010/

Bilde 2: https://pixabay.com/no/photos/svømming-barn-vann-sommer-sport-821622/