Forbedre forståelsen av likhetstegnet gjennom tidlig algebra

Kandidatnummer 4 

Det fins en rekke forskning som setter søkelys på utfordringer ungdomsskole- og videregående elever har med algebra. Noen av disse utfordringene er knyttet til likhetstegnet, og forskning har blant annet vist at flere elever tror at likhetstegnet kun representerer en ensrettet handling som går fra høyre til venstre side av likhetstegnet (Booth, L., 1984; Kieran, 1981; Vergnaud, 1985; Vergnaus, Cortes, A. & Favre-artigue, P., 1988, i Carraher & Schliemann, 2007). Flere elever har også vanskeligheter med å operere med ukjente, og forstår ikke at tilsvarende transformasjoner på begge sider av likhetstegnet ikke endrer verdien i ligningen (Bednarz, 2001; Bednarz & Janvier, 1996; Filoy & Rojano, 1989; Kieran, 1989; Steinberg, Sleeman & Ktorza, 1990, i Carraher & Schliemann, 2007).

Tidlig algebra setter søkelys på utfordringene elevene opplever med algebra. Dette er utfordringer som kommer som følge av mangler i hvordan aritmetikken er blitt introdusert i den elementære matematikken. Denne tilnærmingen til algebra støttes av Booth (1998, i Carraher & Schliemann, 2007, s. 675) som foreslår at utfordringene elever opplever med algebra kommer som følge av problemer med aritmetikken som ikke har blitt korrigert, ikke selve algebraen. Utfordringene rundt likhetstegnet er et eksempel på et mulig problem som ikke har blitt korrigert. I arbeid med tidlig algebra skapes det en tilnærming til algebra innenfor de emnene som allerede eksisterer i matematikkfaget, der elevene arbeider med algebraisk tankegang før de begynner med den formelle algebraen. Formålet er at elevene skal gjenkjenne algebraisk tenking når de begynner med variabler og ukjente (Carraher & Schliemann, 2007, ss. 669-670)(Stenberg, 2016).

Carraher og Schliemann (2007) presenterer tre tilnærminger til tidlig algebra: aritmetikk og numeriske resonnement, aritmetikk og kvantitative resonnement, og aritmetikk og funksjoner. Som bakgrunn for mitt undervisningsopplegg blir jeg til å fokusere på aritmetikk og kvantitative resonnement som en inngang til tidlig algebra.

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget er beregnet for elever i 5. klasse og bygger på kompetansemålet «løyse likningar og ulikskapar gjennom logiske resonnement og forklare kva det vil seie at eit tall er ei løysning på ei likning» (Utdanningsdirektoratet, 2020). Formålet er at elevene skal utforske betydningen til likhetstegnet og hvordan man kan operere med det for å finne ukjente.

I undervisningsopplegget skal elevene benytte seg av en fyrstikkeske og fyrstikker for å lage en "ligning". Fyrstikkesken vil representere en ukjent mengde, der hver og en fyrstikk representerer en bestemt verdi. Gjennom denne undervisningsaktiviteten arbeider elevene med algebraisk tenking og logiske resonnement uten direkte å arbeide med algebra. Videoen under demonstrerer hvordan elevene kommer til å arbeide med fyrstikkene, og hvordan en senere kan benytte seg av en slik arbeidsmåte for å uttrykke ligningen med variabler.

Video: Matchbox algebra

Etter at elevene har arbeidet med diverse «ligninger» skal vi ha en matematisk samtale i plenum om løsningene de kom frem til. Bildene under representerer to ulike løsninger man kan basere den matematiske samtalen på.

Figur 1: To ulike løsningsforslag

Aritmetikk og kvantitative resonnement

Aritmetikk og kvantitative resonnement knytter mengder, mål og størrelser til tidlig algebra. Her vil elevene bruke informasjon vi kan hente fra ting rundt oss, og resonnere seg frem til løsninger ved bruk av uformelle metoder. Fridman (1991, i Carraher & Schliemann, 2007) argumenterer for at det ikke er realistisk å først introdusere yngre barn til tall-algebra, for så gå videre til problemer som er gjennomsyret med mengder. Dette er en av hovedgrunnene til at man bør gi kvantitativ tenking oppmerksomhet innenfor tidlig algebra.  Gjennom å først introdusere elevene til ukjente mengder, slik som fyrstikkesken representerer, får elevene mulighet til å bli kjent med problemer med mengder, og kan benytte dette som en videre inngang til mer formell algebra (Carraher & Schliemann, 2007, ss. 682 & 685-686).

Kvantitative resonnement kan fungere som en god inngang til videre introduksjon av variabler. Variabler kan både bli brukt som unike, ukjente verdier eller som mengder som varierer. Fyrstikkesken representerer ukjente verdier, og kan fungere som en forløper til en variabel som blir brukt som en ukjent verdi (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin, & Karp, 2014, s. 232). Når størrelser ikke får tildelt spesifikke verdier blir verdien ubestemt og fri til å variere, slik fyrstikkesken har potensiale til. I videoen lenger opp blir etter hvert X innført som en ukjent verdi for fyrstikkesken (fra ca. 1.35). I situasjoner der man innfører en variabel som en erstatning for ukjente mengder fremhever Carraher & Schliemann nytten av at verdien på mengden har vært ubestemt. Det vil da bare måtte en liten justering til i tankegangen for å skifte til at en bokstav representerer en ubestemt verdi. Det skjer en endring i fokuset fra å se på en vilkårlig verdi, til å se på alle mulige verdier, og læreren behandler dermed ukjente verdier som ubestemte eller som variabler (Carraher & Schliemann, 2007, s. 685).

Kommunikasjon

Etter at elevene har utforsket likhetstegnet gjennom å regne med fyrstikker og fyrstikkesken er det tid for en målrettet matematisk samtale i plenum, der vi fokuserer på ideen om likhetstegnet. Som bakgrunn for den matematiske samtalen har jeg valgt å fokusere på Kazemi og Hintz (2019) sin samtalestruktur «utforske feil og endre». Denne samtalestrukturen har som mål å «resonnere seg frem til hvilken strategi som gir en korrekt løsning, og finne ut hvor en strategi kom skeivt ut» (Kazemi & Hintz, 2019, s. 14).

Som tidligere nevnt viser forskning at flere elever har utfordringer med betydningen av likhetstegnet, og det er derfor grunn for å tro at flere elever i en klasse kan streve med det. Gjennom denne samtalen kan andre elever i klassen hjelpe til med å oppklare forvirringen, og elevene kan forstå ideen om likhetstegnet ved hjelp av hverandres ideer (Kazemi & Hintz, 2019, s. 149 & 150). Se tabell 1 for hvordan jeg planlegger å legge opp samtalen.

Tabell 1: Struktur for den målrettede samtalen (Kazemi & Hintz, 2019)

Kazemi og Hintz (2019, s. 13) deler fire prinsipp deres arbeid med klasseromssamtaler styres av. Ett av disse prinsippene er at samtalene bør oppnå et matematisk mål som hjelper læreren å avgjøre hva de skal lytte etter, hvilke ideer som bør følges opp og hvilke som skal gis ekstra oppmerksomhet. Smith og Stein (2011, s. 13) skriver at det å spesifisere et matematisk mål for timen er et kritisk startpunkt for planleggingen og undervisningen, og fremhever at dette er forstadiet til sine 5 steg for matematiske samtaler (Smith & Stein, 2011). I tabell 1 blir det tydeliggjort at hovedmålet i min time er at elevene skal forbedre forståelsen sin rundt likhetstegnet, og dette vil blant annet avgjøre hva som lyttes etter og hvilke ideer som følges opp.

Tabell 2: Egenlaget tabell basert på Smith og Stein (2011)

Smith og Stein (2011) presenterer en metode for å bruke elevene sine ideer som bakgrunn for undervisningen, se tabell 2. Samtalestrukturen til Kazemi og Hintz (2019, «utforske feil og endre») baserer seg ofte på at læreren har observert en forvirring eller misoppfatning den vil snakke om (Kazemi & Hintz, 2019, s. 150). Her vil læreren derfor ha en viss innsikt i ulike strategier. Det vil likevel være gunstig for samtalen at læreren på forhånd har satt seg inn i sannsynlige elevsvar, slik Smith og Stein (2011) påpeker i forutse-fasen, slik at læreren kan forstå elevenes løsninger og misoppfatninger best mulig. I tabell 1 fremheves et bestemt elevsvar, som læreren har satt seg inn i før klasseromssamtalen.

Når elevene arbeider med oppgaven i forkant av samtalen, kan læreren gå rundt å «overvåke» elevenes svar og fremgangsmåter slik Smith og Stein fremhever. I tabell 1 kommer det frem at jeg har tenkt å benytte meg av samtaletrekket snu og snakk (Kazemi & Hintz, 2019, s. 34) for å følge med på elevenes forslag til hvorfor en strategi er korrekt eller ikke, og for å velge ut elever med gode begrunnelser. Denne utvelgelsen av elever med gode begrunnelse samsvarer i stor grad med Smith og Stein sin utvelgelsesfase. Besvarelsene trenger ikke være korrekte for å være gode. Når læreren går rundt og hører og velger ut elevbesvarelser vil det også skje en prosess der det blir valgt ut en rekkefølge elevenes besvarelser skal presenteres i, slik Smith og Stein sin neste fase tilsier.

I løpet av både overvåkningsfasen og samtalen kan det komme frem elevløsninger læreren ikke har tenkt på. Dersom læreren på forhånd har satt seg inn i ulike typer elevsvar kan det være lettere å forstå uventede løsninger. Det er mulig at noen elever har uttrykt løsningen med variabler, slik en videreutvikling av oppgaven vil fokusere på. Når læreren velger ut elevsvar til den målrettede samtalen må den tenke på hva de andre elevene har mest nytte av. Dersom læreren trekker frem elevsvar som inneholder variabler er det viktig at elevene har forutsetninger til å forstå løsningen. I slike situasjoner kan det også være gunstig å gå fra mindre avanserte til mer avanserte strategier.

Vurdering

Når jeg skal vurdere undervisningsøkten vil jeg fokusere på elevenes forståelse av likhetstegnet, og benytte meg av vurderingen til å planlegge videre undervisning. Det å benytte seg av elevenes nåværende kunnskap til å planlegge den videre undervisningen er ett av kjennetegnene på formativ vurdering. Det finnes en rekke definisjoner på formativ vurdering, der både Suurtamm m.fl. og Wiliam viser til flere definisjoner. Suurtamm, m.fl. (2016) definerer det som en uformell vurdering som lærere kan gjøre som en del av den daglige vurderingen. Han fremhever også at det som blir vurdert er den nåværende tilstanden til elevenes kunnskap. Denne informasjonen vil lærerne videre benytte til å gi elevene tilbakemeldinger om deres egen læring og til å planlegge fremtidig undervisning (Suurtamm, et al., 2016, s. 14). Wiliam (2018, s. 40) fremhever at noen definisjoner omhandler formativ vurdering som en prosess, men andre definisjoner omtaler formativ vurdering som et verktøy. Selv benytter han begrepet formativ til å beskrive funksjonen bevis har i vurdering, istedenfor selve vurderingen. Definisjonen fokuserer på avgjørelser istedenfor på intensjonene til de som er involvert, og i likhet med Suurtamm fokuserer Wiliam på hva som er det neste steget i undervisningen (Wiliam, 2018, ss. 48-49). Wiliam viser også videre til at formativ vurdering har 5 hovedstrategier, se figur 2.

Figur 2: The five key strategies of assessment (Wiliam, 2018, s. 52)

En av Wiliam sine hovedstrategier er å fremkalle bevis på læring. Denne strategien fokuserer på at læreren skal finne ut hvor elevene er i læringen sin. Læreren har ikke mulighet til å kontrollere at elevene lærer det de er ment å lære, og det er derfor viktig at læreren utforsker elevenes tenking før læreren antar at elevene har forstått noe (Wiliam, 2018, s. 87). En teknikk Wiliam fremhever for å få bevis på læring fra alle elevene er utsjekkspass (Exit pass). I mitt undervisningsopplegg fungerer utsjekksbilletten som et utsjekkspass. Det er flere måter læreren kan benytte seg av utsjekkpass på. Elevene kan bli bedt om å skrive navn på utsjekkpassene slik at læreren kan vurdere elevene, f.eks. gjennom å sette dem i heterogene grupper basert på svarene deres. Læreren kan også samle inn utsjekkspassene uten navn på med formål å bestemme hvordan neste time skal startes (Wiliam, 2018, s. 47 & 108). Begge metodene vil bidra til at læreren får innsikt i elevenes nåværende kunnskap, som den videre undervisningen kan baseres på. Det er viktig at utsjekkspasset har spørsmål som fokuserer på elevenes forståelse av likhetstegnet. Wiliam påpeker at det ikke er lett å utforme spørsmål som gir innsikt i elevenes tenking, og at slike spørsmål ofte ikke ser ut som typiske spørsmål på en prøve (Wiliam, 2018, s. 88). Det er også viktig at utsjekksbilletten reflekterer den matematikken som er viktig å lære, da vurderingen definerer hva som telles som verdifull læring (Suurtamm, et al., 2016, s. 3).

Suurtamm m.fl. (2016) fremhever at læreren bør benytte seg av varierte vurderingsformer slik at elevene får mange muligheter til å demonstrere det de har lært (Suurtamm, et al., 2016, s. 5). I undervisningsopplegget finnes det flere andre mulige vurderingssituasjoner. Både overvåkningsfasen og plenumsamtalen vil være en god arena for at læreren skal få innsikt i elevenes læring. Her vil det være viktig å stille spørsmål som får frem elevenes forståelse. Det vil også være mulig å vurdere elevenes læring opp mot læringsmålet med timen. Selve vurderingen er mer opptatt av elevenes kunnskap og prosessen, enn om elevene får korrekt svar.

Sluttkommentar

Gjennom å støtte meg til Carraher og Schliemann sin artikkel om tidlig algebra har jeg skissert et undervisningsopplegg som kan igangsette algebraisk tankegang hos elever på et tidlig stadium i algebraundervisningen. Mitt undervisningsopplegg benytter seg av fyrstikker og en fyrstikkeske til å utforske når likhetstegnet er likeverdig. Det er likevel flere muligheter med dette undervisningsopplegget. Som tidligere poengtert kan det fungere som en inngang til introduksjon av variabler. Tabell 1 fremhever også at elevene benytter seg av likhetstegnet for å finne ukjente mengder, samt at slike oppgaver kan fremheve hva det vil si at et tall er en løsning på en ligning. Det er også muligheter for å videreutvikle dette opplegget til å inneholde flere esker for å representere flere ukjente. Gjennom å benytte seg av dette undervisningsopplegget er formålet at elevene skal gjenkjenne algebraisk tenking når de senere begynner å arbeide med variabler og ukjente.

Referanser

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. I F. J. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning (ss. 669-705). Charlotte.

Kazemi, E., & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale: hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner. Oslo: Cappelen damm akademisk.

Smith, M. S., & Stein, M. K. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions. The national council of teachers of mathematics.

Stenberg, R. (2016). Tidlig algebra: En studie av tidlig algebra med elever på 6. trinn (masteroppgave). Universitetet i Agder. Hentet fra: https://uia.brage.unit.no/uia-xmlui/bitstream/handle/11250/2412392/Stenberg%2C%20Ronny.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Suurtamm, C., Thompson, D., Kim, R., Moreno, Sayac, Schukajlow, S., Silver, E., Ufer, S. & Vos, P. (2016). Assessment in Mathematics education: Large scale Assessment and Classroom assessment. ICME-13 Tropical Surveys. Springer.

Utdanningsdirektoratet. (2020). Læreplan i matematikk (MAT01‑05). Hentet fra https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv19

Van de Walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Lovin, L. H., & Karp, K. S. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics. Pearson.

Wiliam, D. (2018). Embedded formative assessment. Bloomington: Solution Tree Press.

Liste over modaliteter:

Video - Hentet fra https://www.youtube.com/watch?v=HPXcXWyz_T4&ab_channel=AlanGraham

Figur 1 - Egenlaget

Figur 2 - Hentet fra Wiliam, D. (2018). Embedded formative assessment. Bloomington: Solution Tree Press.

Tabell 1 - Egenlaget

Tabell 2 -  Egenlaget