Sannsynlighet og store talls lov: et undervisningsopplegg for 9. trinn.

Kandidatnummer 19.

Hei og velkommen til min blogg!

I dette blogginnlegget har jeg laget et undervisningsopplegg for 9.trinn i temaet sannsynlighet hvor vi arbeider med store talls lov – et prinsipp i sannsynlighetslæring som jeg skal komme tilbake til senere. For å lette lesingen har jeg laget en oversikt over hva du kan forvente videre:

Før vi hopper inn i teoridelen kan du begynne med å se på bildet under – hva skal det framstille mon tro?

Figur 1 Devineni (2017)

Del I – Sannsynlighet i skolen

Eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlighet og utvalgsstørrelse.

Ideen bak dette undervisningsopplegget fikk jeg da jeg leste om elevers manglende forståelse om sammenhengen mellom eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlig og utvalgsstørrelse. Det er forskningen gjort av Jones, Langrall og Mooney (2007, s. 909-948) i boka «second handbook of research on mathematics training and learning» som ligger til grunn for dette.

For å oppklare noen begrep: ordet sannsynlighet referer til hvorvidt en hendelse vil inntreffe eller ikke. En hendelse igjen kan deles inn i to kategorier: den første kategorien, teoretisk sannsynlighet, er hvorvidt man kan avgjøre sannsynligheten for en gitt hendelse ved å observere hendelsen i seg selv. Den andre kategorien, eksperimentell sannsynlighet, er når man ikke kan avgjøre sannsynligheten for en gitt hendelse gjennom observasjon, men må gjøre flere forsøk for å beregne den faktiske sannsynligheten. Dermed er utvalgsstørrelsen, altså hvor mange forsøk man gjør essensielt for å kunne forstå både teoretisk og eksperimentell sannsynlighet (Jones et al., 2007; Van de Walle, Bay-Williams, Lovin & Karp, 2013, s. 358).

Her er et eksempel:

Figur 2 Norsk kronestykke, av Hendel (2018).

Når du kaster et kronestykke – og vi går ut ifra at kronestykket er symmetrisk og rettferdig- så sier vi at sjansen for å få kron er like stor som sannsynligheten for å få mynt. Bare ved å se på selve kronestykket kan vi altså avgjøre den teoretiske sannsynligheten som er ½ for kron og ½ for mynt. Men hva med følgende oppgave?

Figur 3 Bilde av oppgavetekst hentet fra: Jones et al. (2007, s. 925).

Denne oppgaven fokuserer på forholdet mellom eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlighet og utvalgsstørrelse. På oppgave 1 var det flere elever som mente at svaralternativ d) HTHTH, var det mest sannsynlige utfallet, og på oppgave 2 var det få elever som mente at svaralternativ e) at alle sekvensene er like sannsynlig, var det rette svaret.

Dette viser en manglende forståelse for store talls lov som sier at dersom vi gjør et forsøk mange nok ganger, så vil den eksperimentelle sannsynligheten nærme seg den relative frekvensen til hendelse (Jones et al., 2007, s. 929). Den relative frekvensen for å få kron eller mynt vil i det lange løp stabilisere seg rundt 0,5, men når vi bare har kastet et kronestykke bare fem ganger som i eksemplet over, så er utvalgsstørrelsen for liten til at vi kan si noe om antall kron og mynt.

Hvordan arbeide med store talls lov i skolen?

Figur 4 Egen illustrasjon, laget i excell.

I følge (Bjørnestad, Kongelf & Myklebust, 2013, s. kapittel 7) blir sannsynlighet i skolen introdusert en gang mellom femte og sjuende klassetrinn. De peker på viktigheten av å forstå store talls lov for å utfordre den intuitive magefølelsen som oppstår når vi blir konfrontert med oppgaver i sannsynlighet. Videre sier de at siden det ikke finnes et matematisk bevis for store talls lov, så er dette prinsippet et supert utgangspunkt for utforskning og praktiske forsøk. Excel er for eksempel et flott simuleringsverktøy for å gjøre mange beregninger. Jones et al. (2007, s. 945) støtter også bruk av teknologi når lærere skal undervise i sannsynlighet fordi det er vanskelig å test ut store tall lov uten teknologiske hjelpemidler.

Kommunikasjon og resonnering: hvordan organisere undervisningen?

I boka «målrettet samtale» av Kazemi, Hintz, Birkeland og Jørgenssen (2019) skriver forfatterne om hvordan man kan planlegge, strukturere og gjennomføre matematiske samtaler i sin undervisning. Ved å sette et matematisk mål for timen kan læreren legge opp diskusjoner og samtaler slik at elevene når dette målet. I mitt undervisningsopplegget ønsker jeg å ta i bruk et planleggingsskjema for «Utforske feil og endre-samtale», som handler om at elever må lære av sine egne feil gjennom samarbeid og diskusjon (Kazemi et al., 2019, s. 134). I tillegg ønsker jeg å strukturere selve oppbygningen av timen gjennom å bruke de fem praksisene beskrevet av Smith og Stein (2011, s. 7-8). Disse praksisene skal hjelpe læreren å planlegge og lede målrettede samtaler som tar utgangspunkt i elevenes tenkning. Tabellen nedenfor skal brukes senere når undervisningsopplegget presenteres.

Tabell 2 Venstre kolonne: planleggingsmal, av Kazemi et al. (2019). Høyre kolonne: De 5 praksisene, av Smith og Stein (2011).

Formativ vurdering: Hvordan bruke det for å fremme læring i sannsynlighet?

Wiliam (2017, s. 53) skriver i sin bok at uansett hvor godt en lærer planlegger undervisningen sin så kan man aldri forutsi hva elevene faktisk kommer til å lære. Læring er komplekst og varier svært mye fra elev til elev. Dermed må vi finne bevis for at læring har skjedd (eventuelt at det ikke har skjedd) for å kunne si om undervisningen var vellykket eller ikke. En måte å vurdere denne læringen på er å kontinuerlig fokusere på hva som skjer i klasserommet til enhver tid (Wiliam, 2017, s. 52). Suurtamm et al. (2016, s. 13-16) legger også vekt på at formativ vurdering er en kontinuerlig prosess som pågår i undervisningen. Disse tankene tar jeg med meg når jeg skal fylle ut planleggingsmalen for timen og ikke minst når elevene skal diskutere.

Del II - Undervisningsopplegget

Så til selve moroa – undervisningsopplegget!

La meg først presentere målet for timen som jeg har satt sammen av to kompetansemål etter 9.trinn (Utdanningsdirektoratet, 2019, s. 38): Elevene skal: «beregne og vurdere sannsynligheten i myntkast gjennom diskusjon og simulering».

Planleggingsfasen

I planleggingsfasen starter jeg med å fylle ut planleggingsmalen for «utforske feil- og endre samtalen» jf. Kazemi et al. (2019, s. 163). Dette skal hjelpe meg å sette et matematisk mål for timen og for å styre diskusjonen i riktig retning.

Tabell 3 Planleggingsmal for "utforske feil- og endre samtalen", av Kazemi (2019).

Deretter fyller jeg ut skjemaet for hvordan jeg vil strukturere oppbygningen av timen jf. Smith og Stein (2011, s. 7-8).

Gjennomføringsfasen

Gjennomføringsfasen består av to deler, en del med diskusjon, og en hvor vi bruker Excel som et simuleringsverktøy for å beregne sannsynligheten når vi kaster et kronestykke mange ganger.

Del 1 – diskusjon

I følgende avsnitt har jeg laget en tenkt diskusjon mellom meg som lærer og mine elever hvor jeg forsøket å styre samtalen mot det matematiske målet.

💬

Lærer: I forrige uke stilte jeg dere følgende spørsmål: Du kaster kron og mynt 10 ganger og får kron på 8 av kastene. Hvor stor er sannsynligheten for at du også får kron på det 11. kastet? Mange av dere svarte at det er lite sannsynlig å få kron på det 11.kastet. Er det noen som vil si hvordan de tenkte?

Elev: Siden vi fikk kron så mange ganger så er det rart hvis man får kron enda en gang.

Lærer: Er det flere som er enige i det som blir sagt? (ser seg rundt å ser at flere av elevene nikker). Kan noen andre forklare hva de tenker?

Elev: Et kronestykke har to sider, enten får man kron eller så får man mynt. Det er 50/50. Har man fått kron mange ganger så må man snart få mynt.

Elev: (skyter inn): men ti kast er jo ikke så mye.

Lærer: Der sier du noe! Kan du utdype?

Elev: vel…det er jo kanskje litt tilfeldig. Man kan jo ha flaks i Ludo for eksempel å få flere seksere på rad.

Kommentar: Læreren har en forventing om hvilke strategier elevene vil bruke når problemet presenteres (1. praksis jf. Smith og Stein (2011, s. 8)).
En av dem var at elevene synes det virket «urettferdig» å få kron så mange ganger, selv om antall kast ikke er representativt for å si noe om den faktiske sannsynligheten.

Lærer: Her har jeg et kronestykke. Kan ikke dere to kaste det 30 ganger hver å se hvor mange kron dere får? (læreren skriver resultatet på tavla).

Flott. Da har du fått kron på 21 av 30 kast, mens du har fått kron på 13 av 30 kast.

Hvilket av disse resultatene er mest sannsynlig? Prøv å tenk ut et svar hver for dere, så går jeg rundt å ser.

Kommentar: Læreren går nå over til å observere elevenes respons på oppgaven ved å gå rundt i klasserommet (2. praksis jf. Smith og Stein (2011, s. 8)). Etter hvert som det kommer flere oppgaveløsninger kan læreren begynne å velge bestemte elever som skal presentere strategiene sine (3.praksis jf. Smith og Stein (2011, s. 8).

Lærer: Jeg ser at du har svart at det er mest sannsynlig å få kron 13 av de de 30 kastene. Er det noen som har svart noe annet?

Elev: jeg tror det begge er like sannsynlig jeg. Det er jo bare flaks!

Kommentar: Læreren har nå to ulike løsningsforslag. Det første viser til at eleven ikke har forstått «store talls lov» og tror det er usannsynlig å få så mange kron på 30 kast. Den andre elever virker som å ha forstått at et kronestykke ikke husker hva den har fått på tidligere kast.

Lærer: dersom alle hadde fått hvert sitt kronestykke og kastet det 10 ganger hver, da hadde vil fått 200 kast siden vi er 20 her i klasserommet. Hva tror dere skjer med sannsynligheten for å få kron og mynt?

Kommentar: Læreren ønsker å teste ut spørsmålet fra planleggingsmalen om hvordan elevene responderer på forslaget om å kaste kronestykket mange ganger (Jones et al., 2007, s. 946).

Elev: hmm..vet ikke…forstår ikke helt hva det har å si.

Lærer: Altså, det jeg spør om er om sannsynligheten for å få kron eller mynt forandrer seg når vi kaster 200 ganger i stedet for 30 ganger.

Kommentar: Læreren ønsker å teste ut det andre spørsmålet fra planleggingsmalen som var: hvilke analyser gjør elevene når de har et lite utvalg med data vs. et stort utvalg? (Jones et al., 2007, s. 946). Snakk med sidemann så kommer jeg rundt å snakker med dere.

Lærer: (går rundt å snakker med elevene, og bestemmer rekkefølgen på to strategier som skal presenteres på tavla, ( 4.praksis jf. Smith og Stein (2011, s. 8).

Lærer: Dere to sa til meg at på 200 kast så bør man få ca. like mange kron som mynt fordi det er ½ sjanse for å få kron eller mynt, jeg skriver det opp her (skriver: 1. strategi: sannsynligheten for kron eller mynt = ½ sjanse på 200 kast). Mens dere to begynte å snakke om relativ frekvens og at den varierer. Dere tok utgangspunkt i resultatet fra de 30 kastene og fant ut at den relative frekvensen for kron var: 21/30 = 0,7 og 13/30= 0,43. Dere nevnte også noe om at man måtte gjøre flere forsøk men var ikke sikker på hvordan det skulle gjøres eller ville se ut.

Kommentar: Diskusjonen har kommet til et punkt hvor noen elever nærmer seg det matematiske målet mens andre er litt usikre hva man kan forvente når kronestykket kastes mange ganger vs. få ganger. Jeg tenker derfor at det er på tide å gjøre en simulering for å vise hvordan den relative frekvensen endrer seg.

Del 2 – Kast av kronestykke: simulering med Excel

Bruk linken nedenfor for å se video (videoen har jeg laget selv):

https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=3ALxjKsXY0U&feature=youtu.be&fbclid=IwAR0ruf4BwnsHhe-NAOqF7kvfrM3CkkCyFmUEmHFRZ_ZdIaFH2pt23IZqGMc

Avslutningsfasen

I avslutningsfasen er det to ting som gjenstår:

Det ene er å se sammenhenger mellom forskjellig elevstrategier og mellom elevstrategier og sentrale matematiske ideer (5.praksis jf. Smith og Stein (2011, s. 8)), og den andre er spørsmålene fra utsjekksbilletten (planleggingsskjemaet jf. Kazemi et al. (2019, s. 134).

· Har elevene forstått sammenhengen mellom eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlighet og utvalgsstørrelse?

· Har elevene forstått at de må utfordre den intuitive magefølelsen når de skal beregne sannsynligheten for en gitt hendelse?

Dersom elevene klarer å se hvordan den relative frekvensen endrer seg når antall kast øker (og klarer å argumentere for det), så vil jeg si de har forstått koblingen mellom eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlighet og utvalgsstørrelse.

Del III – Oppsummering

Hva har vi gjort og hva har vi lært?

Jones et al. (2007, s. 909-948) skriver om elevers manglende forståelse for koblingen mellom eksperimentell sannsynlighet, teoretisk sannsynlighet og utvalgsstørrelse. Dette var utgangspunktet for undervisningsopplegget, men jeg manglet en måte å organisere undervisningen på. Ved å bruke planleggingsmalen for «utforske feil og endre-samtalen» (Kazemi et al., 2019, s. 134) kunne jeg styre samtalen mot et matematisk mål, mens til selve oppbygningen av timen brukte jeg de fem praksisene til Smith og Stein (2011, s. 7-8). Gjennom diskusjon og simulering i Excel fikk elevene tenke høyt, samt sett med egne øyner hva som skjer med den relative frekvensen for å få kron eller mynt når antall forsøk øker. Etter min mening er en diskusjon en god måte å drive formativ vurdering på fordi elevene på tenke og resonnere høyt, både for seg selv og sine medelever. Ved å lytte på elevene er det letter å finne bevis for at læringen har skjedd (Wiliam, 2017, s. 53) Suurtamm et al. (2016, s. 13-16).

Referanser:

Bjørnestad, Ø., Kongelf, T. R. & Myklebust, T. (2013). Alfa. Lærebok : matematikk for grunnskolelærerutdanningene 1-7 og 5-10 (2. utg. utg.Alfa : matematikk for grunnskolelærerutdanningene 1-7 og 5-10). Bergen: Fagbokforl.

Jones, G. A., Langrall, C. W. & Mooney, E. S. (2007). Research in probability. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning : Vol. 2 (bd. Vol. 2, s. 909-948). Charlotte, N.C: Information Age.

Kazemi, E., Hintz, A., Birkeland, K. B. & Jørgenssen, T. (2019). Målrettet samtale : hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner (1. utgave. utg.Intentional talk : how to structure and lead productive mathematical discussions). Oslo: Cappelen Damm akademisk.

Smith, M. S. & Stein, M. K. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics.

Suurtamm, C., Thompson, D. R., Young Kim, R., Diaz Moreno, L., Sayac, N., Schukajlow, S., . . .Vos, P. (2016). Assessment in mathematics education: Large-scale assessment and classroom assessment: Springer Nature.

Utdanningsdirektoratet. (2019). Læreplanverket for kunnskapsløftet (1. utgave. utg.Kunnskapsløftet 2020). Oslo: Pedlex.

Van de Walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Lovin, L. H. & Karp, K. S. (2013). Investigating consepts of probability. I Teaching student-centered mathematics : developmentally appropriate instruction for grades 6-8

(2nd ed. utg.): Pearson.

Wiliam, D. (2017). Embedded Formative Assessment: Strategies for Classroom Assessment That Drives Student Engagement and Learning. Bloomington, Indiana: Bloomington, Indiana: Solution Tree.

Figurliste:

Figur 1 Devineni (2017) 2

Figur 2 Norsk kronestykke, av Hendel (2018). 3

Figur 3 Bilde av oppgavetekst hentet fra: Jones et al. (2007, s. 925). 4

Figur 4 Egen illustrasjon, laget i excell. 5

Tabell 1 Oversikt over oppbygningen av blogginnlegget 1

Tabell 2 Venstre kolonne: planleggingsmal, av Kazemi et al. (2019). Høyre kolonne: De 5 praksisene, av Smith og Stein (2011). 7

Tabell 3 Planleggingsmal for "utforske feil- og endre samtalen", av Kazemi (2019). 9