Vertikal undervisning - starten på en skolerevolusjon?

Figur 1: Egen illustrasjon: Før og nå

I løpet av de siste hundre årene er det utrolig mye som har endret seg. Den teknologiske utviklingen går i rekordfart, og vi får stadige bedre mobiler, tv-er, industrielle løsninger, infrastruktur og biler for å nevne noe. Endringene skjer hele tiden, og de skjer raskt. Et av områdene som derimot har endret seg lite er skolesystemet. Klasserommet er stort sett det samme, og tradisjonelt sett sitter elevene ved pultene sine og jobber. Det er på tide med en endring. Du kan nå være med på å endre det vi i dag kjenner som et klasserom ved hjelp av verktøy som vertikal- og problembasert undervisning. 

Thinking classroom

Den canadiske forskeren Peter Liljedahl har i en lang tid forsket på hvordan elever lærer matematikk. Gjennom sin store studie «Thinking Classroom» har han i en periode på over ti år kommet frem til en rekke elementer som kan være med på å skape et tenkende klasserom.

Figur 2: Liljedahl (2016, s.383): Tre steg for implementering 

Liljedahl viser gjennom denne figuren til helt konkrete tiltak lærere kan iverksette i skolen. Tiltakene i Stage One er lettere å iverksette i et klasserom enn tiltakene i Stage Three. Liljedahl (2016, s.382-383) peker på at tiltakene er kronologisk plassert etter på hvilket tidspunkt man skal iverksette dem. I dette blogginnlegget ønsker jeg å formidle et undervisningsopplegg som har fokus på bruk av «vertical non-permanent surfaces». Liljedahl viser til svært interessante og positive resultater ved bruk av vertikale tavler, og det ønsker jeg å videreformidle i dette innlegget.

Figur 3: Liljedahl (2016, s.370): Resultater fra ulike arbeidsmåter

I rad 1 og 2 i figur 3 kan vi lese hvor lang tid det tok før elevene kom i gang ved en gitt arbeidsoppgave. Radene 3 til 8 i figuren viser en skår innenfor ulike temaer der 0 er laveste oppnådd skåre og 3 den høyeste. Tallene viser at elevgruppene som brukte vertikale og horisontale whiteboard blant annet var mer ivrig på å komme i gang, diskuterte mer, og var mer deltakende.

Se denne videosnutten for inspirasjon. Her er også andre steg enn vertikale ikke-permanente tavler implementert:

Film: Illustrasjon for vertikale ikke-permanente tavler

Thinking Classroom kan være et godt virkemiddel til å bygge opp under relasjonell forståelse. Skemp (1976, s.20-26) forklarer begrepene instrumentell- og relasjonell forståelse som to motsetninger. Instrumentell forståelse blir forklart som prosedyrekunnskap. Fordelen med instrumentell forståelse er at elevene kan løse flere like oppgaver på en kortere tid, elevene får rask tilbakemelding på om svaret er riktig, og kan derfor bli motiverte av at de får til å løse oppgavene. Han stiller instrumentell forståelse i kontrast til relasjonell forståelse som han forklarer at er mer anvendbar. Samtidig vektlegger Skemp at relasjonell forståelse er lettere å huske, og at fordi den er mer anvendbar kan det føre til at elevene blir tryggere på å gå ut av komfortsonen for å løse oppgaver på en ny måte.

Figur 4: Egen Illustrasjon: Hver prikk illustrerer en kunnskap/prosedyre. Som figuren hinter til er det i en relasjonell forståelse  større sammenheng hvor kunnskapen henger sammen og er mer anvendbar enn i instrumentell forståelse.

På samme måte som Skemp skiller mellom instrumentell og relasjonell forståelse har Hiebert & Lefevre (1986, s.1-27.) gjort rede for sammenhengen og forskjellen mellom conceptual- og procedural knowledge. Disse er nærliggende begrepene Skemp omtaler, men fordi det etter min mening kan være lettere å se begrepene instrumentell og relasjonell forståelse som to ytterpunkter ser jeg på det som hensiktsmessig å bruke disse videre i blogginnlegget.

Et av kjerneelementene i fagfornyelsen er at elevene skal lære om utforskning og problemløsning. Utdanningsdirektoratet (2020) skriver at problemløsning i matematikk blant annet handler om å utvikle metoder for å løse nye problemer. Det skal bli lagt mer vekt på strategier og fremgangsmåter, og elevene skal bryte problemer ned i delproblemer. 

Lesh & Zawojewski (2007, s. 782) definerer problemløsning som:

A task, or goal-directed activity, becomes a problem (or problematic) when the “problem solver” (which may be a collaborating group of specialists) needs to develop a more productive way of thinking about the given situation.

I og med at problemløsning handler om å utvikle nye metoder for å løse et problem vil det være sannsynlig at elevene må sortere, modifisere, revidere eller omarbeide sine matematiske begreper på veien (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 782). Ut fra dette kan vi tolke at problemløsning handler om mer enn å tillære seg prosedyrer for å løse ulike sett med oppgaver. På samme måte kan det være nærliggende å tenke at problemløsning kan være et godt verktøy for å drive relasjonell undervisning. Problemløsning handler om å tolke, beskrive og forklare matematiske situasjoner, og ikke kun om å utføre regler eller følge prosedyrer (Lesh & Zawojewski, 2007, s. 782). Dette står i tråd med slik Utdanningsdirektoratet beskriver problemløsning. 

Five practices

I boka Five Practices For Orchestrating Productive Mathematics Discussion (Smith & Stein, 2011, s. 21-29) kan vi lese om fem metoder som kan være til hjelp for å praktisere en god matematikkundervisning, hvor læreren kan løfte frem den matematiske diskusjonen. Smith & Stein (2011, s. 8) omtaler de fem praksisene som; anticipating, monitoring, selecting, sequencing og connecting. Kort oppsummert kan de fremstilles slik (min oversettelse);

Forutse	sannsynlige elevsvar og strategier som kan bli brukt
Observere	eleven/elevenes faktiske respons til oppgaven
Velge ut	enkelte elever som skal presentere sine løsninger for klassen
Bestemme rekkefølgen	som løsningene skal presenteres i
Koble	elevenes løsningsstrategier sammen, og koble løsningene til matematiske ideer

Figur 5: Tabell over fem praksiser, egen tabell, egen oversettelse.

Å forutse handler om mer enn å tenke på om elevene klarer eller ikke klarer å løse en oppgave. Det handler om hvordan strategier de kommer til å bruke, og hvilke svar de kommer til å få. Å observere handler om å følge med på hvilke strategier som blir brukt. I denne fasen har en mulighet til å benytte seg av det gode forarbeidet som ble lagt inn i den første fasen. Å velge ut handler om hvilke strategier du har lyst til at skal komme til utspill i fellesskapet. Kanskje det finnes en strategi som majoriteten av klassen har brukt. Et triks her kan være å spørre etter frivillige med strategisk velge ut fra hvem som rekker opp hånd (Smith & Stein, 2011, s. 10). Å bestemme rekkefølgen og koble handler om i hvilken rekkefølge strategiene skal presenteres, og hvordan denne rekkefølgen henger sammen. Til slutt skal læren trekke linjer mellom løsningen, det vil si se etter likheter og ulikheter, samt trekke frem nøkkelelementer fra undervisningen.

Ved gjennomføring av de fem praksisene kan man bidra til å få mer ut av de matematiske samtalene i klasserommet, samt at jeg også syntes det er et fint verktøy for formativ vurdering da denne forekommer naturlig i et hvert steg. Det kan være nærliggende å tenke at de fem praksisene også kan brukes til å påvirke det som Yackel & Cobb (1996, s. 461) omtaler som sosiomatematiske normer. Dersom du gjennomfører de tre siste stegene på en god måte, kan elevene også lære forskjellen på det Yackel & Cobb (1996, s. 464) omtaler som sofistikerte, effektive eller ulike matematiske løsninger.

 

 

Mål

Et av kompetansemålene for elever på 9.trinn er at elevene blant annet skal kunne:

·       Beregne og vurderer sannsynlighet i statistikk og spill.

Med bakgrunn i kjerneelementene, spesielt kjerneelementet om utforsking og problemløsning, ønsker jeg at elevene skal oppnå best mulig kompetanse i dette konkrete kompetansemålet. Som tidligere nevnt handler problemløsning blant annet om å utvikle strategier og fremgangsmåter for å løse et problem, samt vurdere om løsningen er gyldig. Dette står i tråd med det Lesh & Zewojewski (2007, s. 782) skriver om at problemløsningsoppgaver skal være et redskap for læring, og at læring skjer gjennom å skape matematiske modeller. Dette står også i tråd med hvordan Skemp omtaler relasjonell forståelse. I tillegg vil naturligvis undervisningsopplegget også konsentrere seg om elevenes matematiske kommunikasjon, argumentasjon og resonnement underveis. Dette vil være nærliggende å jobbe med om vi tenker tilbake på de fem praksisene. Elevene får derfor gode muligheter til å jobbe med kjerneelementene som et redskap for å strekke seg etter kompetansemålet.

Elevenes læringsmål for timen(e) kan for eksempel være:

Jeg kan øve på å beregne og vurdere sannsynlighet ved å bruke strategier for problemløsning.
Jeg har prøvd å løse minst en problemløsningsoppgave sammen med andre ved bruk av vertikale tavler.
Jeg kan forklare min løsning for andre, og jeg hører på andre når de forklarer sin løsning.

 

 

Undervisningsopplegg

I undervisningsopplegget ønsker jeg å knytte sammen Liljedahls teori om ikke-permanente tavler sammen med teori om five practices, problemløsning, samt relasjonell og instrumentell forståelse. På bakgrunn av Liljedahls to første elementer som omhandler å begynne timen med et godt problem, samt at elevene ser at du deler klassen inn i tilfeldige grupper, er det viktig at ti­men starter med nettopp dette. Jeg ønsker derfor å starte undervisningen med å muntlig presentere følgende problemstilling:   

To venninner, Emma og Thea, deler en leilighet. De er stadig uenige om hvem sin tur det er til å vaske badet. De blir enige om å løse problemet med trekning. De legger derfor fire nonstop i en skål hver dag. 2 og 2 med samme farge. Hver dag trekker de én nonstop hver. De har blitt enige om at dersom nonstoppene har lik farge skal Thea vaske badet, og dersom de har ulik farge skal Emma vaske badet. Er trekningen rettferdig?

 

Først skal elevene få tid til å tenke selvstendig på problemet. Deretter skal klassen synlig deles inn i tilfeldige grupper enten ved hjelp av Excel eller tilfeldig lappetrekning. Dette kan også bidra til å påvirke de sosiomatematiske normene ettersom elevene jobber på tvers av kompetansenivå. Læreren forteller at elevene skal jobbe stående og notere på overflater hvor tusj/blyant enkelt kan viskes ut igjen. Overflatene skal være vertikale, og lærer gir eksempler på dette (vinduer, whiteboards, stående pulter, på vegger, hyller osv.). Elevene vil også ha tilgang på konkretiseringsmateriell for å gjøre forsøk (nonstop, skål).

Det er ønskelig at læreren allerede før timen har satt seg ned og undersøkt hvilke svar elevene kan komme med, samt hvilke strategier elevene kan ta i bruk. I dette tilfellet kan det tenkes at elevene prøver å løse oppgaven ved hjelp av kombinatorikk, sannsynlighet, valgtre (kombinatorikk), valgtre (sannsynlighet) eller lager tegning (kombinatorikk). Dersom du har gjort dette forarbeidet vil det være lettere å stille gode oppfølgingsspørsmål underveis, i tillegg til at du sparer tid og unngår å måtte teste elevenes strategi for å se om den fungerer.

I undervisningen kan man videre utfordre gruppene til å løse oppgaven ved hjelp av en annen strategi, eller være en god støttespiller ved å stille gode oppfølgingsspørsmål. Dette kan læreren gjøre av ulike grunner, enten fordi elevene bruke en mindre effektiv strategi, eller fordi løsningene tilsynelatende er instrumentelle, og at du ønsker at elevene skal oppnå en mer relasjonell forståelse. I løpet av tiden elevene arbeider skal du som lærer få et bredt overblikk over hvilke strategier som tas i bruk, om det finnes noen misoppfatninger som går igjen, eller om det er en bestemt løsningsmetode som de flest gruppene i klassen bruker. Denne informasjonen kan du senere bruk til både din og elevenes fordel.

Du skal nå gjøre deg noen tanker om hvordan og hvem av elevene som skal presentere sine løsninger. Det kan enten være at den løsningen som blir brukt mest presenteres først, for så en mer elegant eller effektiv løsning, eller at man som lærer velger en annen rekkefølge som man mener passer bedre.

Læreren er så med på å trekke linjer mellom løsningene og trekke ut det viktigste elevene skal ha lært. Dette er med på å opparbeide klassens sosiomatematiske norm hvor elevene forstår hva som skiller de ulike strategiene, og hvorfor de er matematisk forskjellige eller matematisk like. Kanskje noen elever neste gang bytter strategi til en som er mer effektiv eller elegant.

Ved å til slutt samle resultatene fra elever som gjør forsøk vil vi få et større datasett, og dette kan være med på å tydeliggjøre for hele klassen at trekningen ikke er rettferdig.

Gjennom de fem praksisene har du nå opparbeidet deg informasjon og vurdert hvor langt på veien elevene har kommet, og hva som må til for en ytterlig forståelse. Etter at klassen er samlet og ulike strategier er presentert, forklart og forhåpentligvis forstått, skal elevene jobbe videre med et oppfølgingsproblem som lyder:

Klarer dere å finne en trekning som er mer rettferdig for Emma og Thea?

Gjennom dette problemet skal læreren jobbe på samme måte som i foregående problemstilling. Både med tanke på synlig tilfeldige grupper, vertikale tavler, introdusere problemet muntlig, samt at læreren skal forberede seg, gjennomføre og evaluere gjennom fem praksiser. Elevene står fritt til valg av løsningsstrategi, og læreren skal fungere som en veileder. 

Referanser

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (p. 1–27). Lawrence Erlbaum Associates, Inc.

Liljedahl, P. (2016). Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem Solving. Hentet 30.09.2020, fra https://www.researchgate.net/publication/275953429_Building_Thinking_Classrooms_Conditions_for_Problem_Solving 

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Stein, M. K., & Smith, M. (2011). 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions. National Council of Teachers of Mathematics.

Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics teaching, 77(1), 20-26.

Utdanningsdirektoratet. (2020). Kjerneelement (MAT01-05). Hentet 06.10.2020 fra: https://www.udir.no/lk20/mat01-05/om-faget/kjerneelementer

Utdanningsdirektoratet. (2020). Kompetansemål og vurdering (MAT01-05). Hentet 06.10.2020 fra: https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv15

Yackel, E.,Cobb, P., (1996); Sosiomathematical Norms, Argumentation and Autonomy in Mathematics. (s.458- 477) Journal for Reaseach in Mathematic Education. Vol. 27

Referanse til film:

Film: Edutopia (2018). Learning on their feet. Hentet 08.10.2020 fra https://www.youtube.com/watch?time_continue=202&v=6Ri1vNQBk6I 

Dersom du ønsker flere oppgaver for å trene på problemløsning kan du trykke deg inn på denne lenken.

Kandidatnummer 6.