Kandidat 08
Problemløsning i algebra
Fra den dagen jeg startet min skolegang som seksåring og frem til i dag, hvor jeg nå sitter som masterstudent ved lærerutdanningen på UiT og skriver om matematikkundervisning, har jeg for det meste møtt på den tradisjonelle undervisningsformen i matematikkfaget. Matematikkundervisning som er planlagt ut fra de matematikkbøkene som er tilgjengelig på skolen. Hvor man slavisk går gjennom et kapittel etter det andre. Læreren underviser på tavla, elevene regner oppgaver i boka, lærer går gjennom noen fler eksempler på tavla, og ved enden av kapittelet gjennomføres en kapittelprøve før man går videre til neste kapittel. Matematikk har vært et fag man enten mestrer eller hater. Et fag som har definert hvem som er "smart" og ikke, og så lenge jeg kan huske har matematikkundervisning blitt gjennomfør på denne måten.
The Elephant in the Classroom
Gjennom studiet mitt ble jeg introdusert til Jo Boalers bok The Elephant in the Classroom. Den har åpnet øynene mine for en ny måte å forstå og undervise matematikk på. I forordene skriver hun om hvordan hjerneforskning viser til at ingen er født med eller uten evnen til å lære seg matematikk. At tradisjonelle lærere går med den oppfatningen av at noen elever ikke har hjerne til å kunne lære seg matematikk (side xviii). Mens det hele handler om måten man legger fram matematikken på og hvordan den blir undervist. Forskning som viser at elevers hjerne vokser mer når de gjør feil og oppdager det, enn om de hadde løst oppgaven riktig fra start var helt nytt for meg. At lærere i Kina heller vil at elvene skal dele feilene sine med klasse, fremfor hva de har gjort riktig, og at de aldri jobber med mer enn tre oppgaver per time for å kunne gå i dybden av hver oppgave (side xxi). Dette syns jeg var helt utrolig da jeg selv har vært vant til et læringsmiljø hvor man strever etter å ha regnet flest oppgaver på en time.
Boaler har spurt hundrevis av elever hva de mener matematikk handler om, og de svarer som regel at det handler om tallog masse regler (s.16). Disse elevene har som regel ikke fått et innblikk i hvordan matematikk kan forbindes til omverdenen (s.19).
Matematikk handler om å belyse ulike forhold slik de vi finner i ulike former og figurer i naturen (s.19).
I boken reflekterer Margaret Wertheim over hvordan en matematikktime i Australia endret hennes syn på verden:
Hun beskriver hvordan hun som tiåring opplevde det hun kaller en "mystical experience" i en matematikktime hvor de lærte om sirkler. Læreren lot henne og de andre elevene oppdage "hemmeligheten" bak denne unike sirkelformede figuren. Nemlig tallet kjent som pi. Hun forteller hvordan denne oppdagelsen, om hvordan nesten alt man kan fortelle om en sirkel kan fortelles med tallet pi, føltes ut som hun hadde oppdaget/funnet en av universets store skatter. Uansett hvor hun gikk så hun sirkler og i kjernen av alle var dette mystiske tallet, pi. Hun kunne se det i solen, månen, jorden, sopp, solsikker og appelsiner. På hjul og på klokker. Alt hang sammen med pi. Fra denne dagen visste hun at hun ville lære mer om matematikk, mer om hvordan hun kunne finne og løse noen av universets mysterier. Fra denne dagen visste hun at hun ville lære seg mer om de matematiske hemmelighetene som skjulte seg i verden rundt henne. (Side.19-20).
Hun beskriver denne oppdagelsen som en slags evig skattejakt. Et evig mysterium eller eventyr i jakten på å oppdage flere av universets mysterium. Dette viser bare hvor viktig det er å vise elevene sammenhengen mellom matematikken og hverdagen. Hjelpe dem å forstå at matematikk ikke bare er tall og oppgaver med rette eller gale svar, men hvordan kan vi som lærere få til dette i et mangfoldig klasserom?
Et viktig poeng som kommer fram i boken og som jeg mener er viktig å videreformidle til elevene er hvor lang tid matematikere faktisk kan bruke på å løse ulike problemer. Noen kan jobbe med et problem i flere år (s.25). Det å skape et trygt læringsmiljø, hvor det å feile er en del av læringsprosessen og ikke et nederlag tror jeg har mye å si for elevenes prestasjoner.
For å visualisere hvor virkelighetsfjernt matematikkundervisning kan være bruker Boaler musikk som et eksempel. Elever som bare leser og skriver noter til musikk, men aldri får høre musikken vil aldri fortsette med musikk fordi de aldri får oppleve hva musikk virkelig er. Samme kan tenkes om matematikk. Hvis elevene bare skal regne og svare på oppgaver i boka vil de ikke forstå hva matematikk er og hvordan det kan brukes. (s.30).
Senere i boken kommer hun inn på «Project Based Classroom Approach». Dette er en måte å undervise som Boaler har observert ved en skole over mange år. Læreren deler ut en åpen oppgave som elevene skal løse matematisk. Prosjektene varte rundt tre uker og elevene fikk selv velge hvilken løsning de ville komme fram til. Denne undervisningsmetoden har mye mindre orden og kontroll enn tradisjonelle metoder (s.53). Læreren går rundt og underviser ulike metoder i mindre grupper etter hva gruppene har behov for å lære. Denne undervisningsmetoden legger til rette for elevmedvirkning der elevene selv får bestemme hvilken retning de vil ta. En av oppgavene elevene fikk var at de fikk «utdelt» 36 gjerder med en lenge på 1 meter og skulle finne størst mulig areal for med inngjerdet område de kan lage. Gjennom prosessen får elevene diskutert og jobbet i grupper. De retter på hverandre og lærer bort det de har fått til selv. (5prac) (Relasjonell forståelse)
Forståelse av Algebra
Et viktig punkt i hvordan elever lærer algebra handler elevers evner til å forstå symbolene som brukes i algebra og eventuelt manglende koblinger mellom algebra og andre regnearter. Ved å bruke problembasert læring vil elevene hjelpe hverandre til å forstå ulike aspekter av algebraen. Det å kunne koble sammen symboler og notasjoner med hendelser og situasjoner, vil derved skape en ekstern betydning for visse objekter og prosesser av algebra (s.167)
Undervisningsopplegget
Jeg ønsket å lage et undervisningsopplegg for 8.trinn med en prosjektbasert tilnærming i klasserommet. Ved planleggingen og gjennomføringen av timen vil jeg bruke 5 Practices fra boka 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions.
Undervisningen jeg vil gjennomføre er innenfor algebra. Og de to kompetansemålene vi skal jobbe med de ukene er følgende:
- Utforske algebraiske regneregler
- Beskrive og generalisere mønster med egne ord og algebraisk
Problemet eller oppgaven jeg vil elevene skal jobbe med er følgende:
Undervisningsopplegget bygger på Boaler (2009) sin måte å undervise på kalt «Project Based Classroom Approach». Elevene vil få en åpen oppgave der de selv må finne ut hvordan de skal løse den. En slik oppgave bygger på elevenes problemløsningsferdighet og det utfordrer til oppfinnsomme og kreativ. Elevene legger listen selv på hvor vanskelig de gjør oppgaven, men som lærer ville jeg gått rundt og veiledet elevene slik at de får utfordret seg selv. Oppgaven elevene får er slik:
Noas ark har til sammen 60 bein om bord. Hvilke regninger kan vi gjøre i algebra med den informasjonen?
Nå vil jeg presentere de forskjellige praksisene og hvordan de faller inn under den spesifikke oppgaven. Den første praksisen vi må se på i planleggingen er anticipating, denne handler om å forberede hvilke svar man forventer at elevene skal komme med. Ved en så vid oppgave er det mange ulike løsninger elevene kan komme med. Noen kan dele beina inn I tobeinte, firbeinte eller dyr/insekter med flere bein. Ane vil kanskje tenke seg et par av hver dyresort og regne ut fra det. Mulighetene er mange.
Den andre praksisen er monitoring, den handler om å ha en oversikt over hvordan elevene diskuterer og løser problemet. Som tilbake til Boalers problembaserte undervisning kan kobles opp mot da læreren gikk rundt observerte og underviste i mindre grupper. Den tredje er selecting, som handler om at læreren ut fra informasjonen fra monitoringen skal velge seg ut noen elever som kan presentere sitt arbeid. Den fjerde er sequencing, som handler om å velge i hvilken rekkefølge man vil at elevene skap presentere sitt arbeid for å skape best mulig diskusjon. Og for å kunne koble de ulike arbeidsmåtene sammen. I Boalers problembaserte undervisning vil dette skje underveis. Elevene diskuterer og hjelper hverandre underveis. Mens I dette tilfellet vil det være å plukke hvilke grupper som skal presentere arbeidet sitt. Den siste er connecting, som handler om å forbinde svarene med hverandre og med problemet (s.7-11).
Fagfornyelsen
I denne delen skal jeg presentere kjerneelementer fra fagfornyelsen som er mest relevant for dette undervisningsopplegget.
Utforskning og problemløsning
Som det står i fagfornyelsen under kjerneelementet utforskning og problemløsning handler utforskning om at elevene skal lete etter mønster, finne sammenhenger og diskutere seg fram til en felles forståelse. Elevene skal utvikle metoder for å løse problemer de ikke vet om fra før. Her er det viktig med algoritmisk tenking i prosessen. Problemløsning handler og om å analysere og forme om kjente og ukjente problem, løse dem og vurdere om løsningene er gyldige.
Modellering og anvendinger
En modell i matematikk er en beskrivelse av virkeligheten i matematisk språk. Anvending handler om at elevene skal ha en innsikt og forståelse for hvordan de skal bruke matematikk i ulike situasjoner både i og utfor faget.
Resonering og argumentasjon
Følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. Forstå at matematiske regler og resultater ikke er tilfeldige. Elevene skal utforme egne resonnement både for å forstå og for å løse problem. Argumentasjon i matematikk handler om at elevene grunngir fremgangsmåter, resonnement og løsninger og beviser at de er gyldige.
Matematiske kunnskapsområde
De matematiske kunnskapsområdene omfatter tall, tallforståelse, algebra, funksjoner, geometri, statistikk og sannsynlighet. Algebra handler om å utforske strukturer, mønster og relasjoner og er en viktig forutsetning for at elevene skal kunne generalisere og modellere i matematikk. Funksjoner gir elevene er viktig verktøy for å studere og modellere endring og utvikling.
I 2nd Handbook kap 16 - Kieran - Algebra, kan man lese om hvordan elever lærer algebra. Et viktig punkt i hvordan elever lærer algebra handler elevers evner til å forstå symbolene som brukes i algebra og eventuelt manglende koblinger mellom algebra og andre regnearter. Ved å bruke problembasert læring vil elevene hjelpe hverandre til å forstå ulike aspekter av algebraen. Det å kunne koble sammen symboler og notasjoner med hendelser og situasjoner, vil derved skape en ekstern betydning for visse objekter og prosesser av algebra (s.167)
Jeg legger ved en video der Jo Boaler prater om mye av det som er skrevet om i dette innlegget og håper flere kan bli like inspirert av henne som meg.
Til slutt vil jeg legge ved to bilder illustrert av Lisa Aisato som ligger ute på den offentlige facebooksiden hennes. Bildene illustrerer hvor ulike elever er og hvor viktig det er å undervise slik at mangfoldet kan blomstre.
Referanser
Boaler, J. (2009). The Elephant in the Classroom - Helping Children Learn and Love Maths. London: Souvenir Press.
Kieran, C. (u.d.). LEARNING AND TEACHING ALGEBRA AT THE MIDDLE SCHOOL THROUGH COLLEGE LEVELS. I Second Handbook of Mathematics Education. UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL.
Smith, M. S., & Stein, M. K. (2011). 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions. 1906 Association Drive, Reston, VA: THE NATIONAL COUNCIL OF TEA
CHERS OF MATHEMATICS, INC.
Utdanningsdirektoratet (2020). Fagfornyelsen, Matematikk 1-10 (MAT01-05). Hentet fra URL https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv16
https://www.youtube.com/watch?v=3icoSeGqQtY&ab_channel=TEDxTalks
Bilder
https://www.facebook.com/lisaaisato/photos/a.1729985103880514/2448946655317685/
