Hvem får mest kake?

 Kandidat nr.12

I dette innlegget vil jeg vise teorier og et undervisningsopplegg som vil hjelpe elever med å utvikle den konseptuelle kunnskapen. Den tradisjonelle pugge metoden der man løser mange oppgaver får å lære seg formler og regnestrategier er godt kjente strategier og brukte strategier for å tilegne seg den procedurale kunnskapen. Men å utvikle den konseptuelle kunnskapen kan være mer krevende for en lærer.

Relasjonell og konseptuell

Richard R. Skemp (1976) delte forståelse i matematikk inn i to former. De to formene ble kalt instrumentell forståelse og relasjonell forståelse. Den instrumentelle forståelsen går ut på at man bruker formler man har lært til å løse en spesifikk oppgave for å løse denne oppgaven. Eleven kan her løse oppgavene, men vet ikke hvorfor oppgaven kan løses slik og er ikke klar over hva som skjer under regneprosessen gjør. Denne formen blir beskrevet som «rules without reason» og er i følge Skemp ikke en ordentlig forståelse. I relasjonell forståelse derimot vet man hva som skal gjøres, hvorfor det kan gjøres og hvordan ulike temaer i matematikken henger sammen.  Med denne forståelsen vil elevene kunne knytte det de tidligere har lært og kan bruke dette når de skal lære seg noe nytt, lettere huske formlene siden de forstår hvorfor formlene fungere og relasjonell forståelse kan øke motivasjonen til elevene i matematikk.

Prosedural og konseptuell kunnskap (oversatt fra procedural og conceptual knowledge) er James Hiebert og Patricia Lefevre (1986) sine to former som kan minne mye om Skemps sine to forståelser. Prosedural kunnskap deler mange likheter med instrumentell forståelse, men prosedural deles inn i to deler der den ene er lik instrumentell og dreier seg å bruke formler som er lært for å løse en spesifikk type oppgave. Den andre delen dreier seg om matematikk språket og det å kjenne igjen symboler for eksempel det å se at +=X4 ikke er en riktig måte å skrive en oppgave på. Konseptuell forståelse kan forklares som et nettverk der all informasjon er knyttet sammen. Den som har konseptuell kunnskap kan bruke informasjon fra et annet tema for å løse oppgaver i et nytt eller annet tema. Konseptuell kunnskap deles inn i to nivåer. Første del er primary der informasjonen som knyttes sammen er nærme hverandre eller lik nivå av abstrakthet som Hiebert og Lefevre beskriver det. Nivå to kalles for refleksjons nivået og knyttes informasjon som er mindre knyttet til samme kontekst eller er mer abstrakte sammen.   Prosedural blir ofte lært med den klassiske pugge metoden og konseptuell kan læres med meningsfull læring, problemløsnings oppgaver kan brukes her.

Der Skemp setter et skille mellom de to formene og favoriserer relasjonell forståelse mener Hiebert og Lefevre (1986) at de to kunnskapen er avhengig av hverandre for å fungere best mulig. Konseptuell kan hjelpe prosedural med å gi mening til symbolene og hjelpe til å huske formler og regneprosesser. Prosedural kan hjelpe konseptuell med at symboler hjelper til å løse komplekse oppgaver, formler gjør det lettere å løse deler av oppgaver slik at mer kapasitet kan brukes på de mer komplekse delene av oppgaven.

 

Problemløsning som læring

Det er ikke bare å gi en problemløsnings oppgave og forvente at elevene utvikler konseptuell kunnskap. Man må først gi en oppgave som er en problemløsnings oppgave, det er også å vite hvordan man skal bruke oppgaven. En målrettet aktivitet eller en oppgave blir et problem når den som skal løse problemet trenger å utvikle en mer produktiv måte å tenke på gitt situasjonen (Lesh & Zawojewski, 2007). De mener videre at man lærer matematikk gjennom problemløsning. Det er to syn på bruk av problemløsning ifølge Lesh og Zawojewski (2007). Tradisjonell er det ene synet der elevene får problemløsnings oppgaver etter at de har lært de vanlige tenkemåtene som de har behov for før de kan løse et virkelighets nært problem. Det andre synet er modeller og modellering, her lærer elevene gjennom å utvikle konseptuelle systemer for å gi mening av virkelighets problemer hvor det er nødvendig å lage, endre eller tilpasse en matematisk tenkemåte. Modellfremkallende aktiviteter vil gi elevene en personlig forståelse for å løse problemet.  

 

Figur 1 Tradisjonelt og modellerings syn på problemløsning. (Lesh og Zewojewski, 2007, s 783)

 

The five practices

Det kan utfordrende for en lærer å svare eller veilede elevene i timene når de jobber med problemløsnings oppgaver siden de kan komme med ideer eller løsninger som læreren ikke er forberedt på. Forutse, overvåke, velge, sekvensering og tilkoble er fem øvelser som kan hjelpe en lærer med å bruke elevenes respons til å utvikle den matematiske forståelsen til klassen (Smith & Stein, 2011). Den første øvelsen forutse dreier om å forutse hvordan elevene vil starte på oppgaven, elevene kan komme til å bruke mange ulike strategier for å løse oppgaven og som ikke vil løse oppgaven. Her kreves det at læreren prøver å løse problemet på så mange måter man kan for å være best mulig forberedt. Overvåke er den andre øvelsen og går ut på å følge nøye med på hvordan elevene løser oppgavene og hvilke strategier elevene bruker. En liste med forutsette strategier laget på forhånd kan her hjelpe læreren å holde orden på hvilke elever som bruker hvilke strategier, dette kan hjelpe læreren videre i neste øvelse.  Læreren skal ikke bare overvåke i denne øvelsen, men samtidig stille spørsmål som hjelper elevene å visualisere, avklare tankegangen, forsikre at alle er delaktige og utfordre dem til å vurdere aspekter av oppgaven som de må innom. Øvelse nummer tre er velge, her velger læreren ut enkelte elever eller en gruppe som skal dele sin løsningsstrategi til resten av klassen. Læringsmålet for timen styrer her hvem som velges ut og læreren kan forberede dem som er valgt på forhånd slik at de er litt mer forberedt til å dele til resten av klassen. I den fjerde øvelsen sekvensering avgjør læreren i hvilken rekkefølge de utvalgte skal dele sine tanker til resten av klassen. En løsning for læreren kan være å starte med den strategien som flest elever har brukt og deretter de strategiene som færre elever brukte. Et annet alternativ kan være å starte med en strategi som er mer konkret før man går over til mer abstrakte løsninger. Til slutt kommer øvelsen tilkoble, her kobles de ulike strategiene sammen og læreren kan også legge til viktige ideer for målet med timen. Læreren kan hjelpe elevene i å vurdere effektiviteten og nøyaktigheten til de ulike strategiene og la strategiene bygge på hverandre.

 

 

Undervisningsopplegget

Dette opplegget er tenkt for en 6.klasse men kan brukes på flere trinn med litt tilpasninger. Dette undervisningsopplegget er ment å hjelpe elever med å utvikle sin konseptuelle kunnskap der elevene skal knytte tidligere informasjon med ny informasjon. Oppgaven er en problemløsningsoppgave som etter modelleringssynet skal hjelpe elevene å utvikle ny kunnskap, de fem øvelsene skal hjelpe læreren lede timen mot målet for timen.

Målet for timen er å løse et problem fra hverdagen med desimaltall, brøk eller prosent og forklare egen tankemåte. Dette målet knyttes til kompetansemålet for 6.trinn:

Formulere og løyse problem frå sin eigen kvardag som har med desimaltal, brøk og prosent å gjere, og forklare eigne tenkjemåta (Utdanningsdirektoratet, 2019).

 

Denne timen starter med at elevene blir satt i grupper på tre eller fire. Etter at elevene er delt i grupper blir oppgavene gitt ut verbalt og elevene kan starte å jobbe sammen imens læreren går rundt og observerer og veileder de som trenger det. Timen avsluttes med en oppsummering der elevene deler sine strategier, det er viktig at det tas god tid til oppsummering slik at det blir tid til å knytte strategiene sammen.

Oppgaven

I mat og helse lager klassen Brownies kaker. Det er 3 gutter og 8 jenter i klassen, guttene lager en kake og jentene lager 3 kaker. Jentene deler kakene likt mellom seg og guttene deler kaken likt mellom seg. Får en jente eller gutt mest kake? Hvor mye mer?

 

Elevene har fra før jobbet med brøker, desimaltall og prosent, men kun regnet litt og sammenlignet like brøker. Elevene har tidligere ikke sammenlignet ulike brøker og regnet med ulike brøker, og det å kunne sammenligne og regne med ulike brøker er ferdigheten vi er ute etter i dette opplegget. Samtidig skal elevene utvikle kunnskap og forståelse om hvorfor man kan regne ut dette problemet og knytte denne nye kunnskapen med tidligere kunnskap. Smith og Stein sine fem øvelser skal her hjelpe læreren med å veilede elevene.

Man kan forutse at noen elever vil begynne å tegne guttene, jentene og kakene. En god strategi vil være å først finne ut hvor mye kake en gutt og en jente får og deretter se på hvem som får mest og hvor mye. Ved å tegne opp og telle eller diskuterer seg fram vil elevene komme fram til at en gut får 1/3 kake og en jente får 3/8. Får å finne ut hva som er størst av 1/3 og 3/8 kan elevene enten tegne opp 1/3 og 3/8 av kaker og måle med øynene hvem som får mest.  Det er viktig at kakene som deles har likt areal og at oppdelingen er så presis som mulig, dette er en feil som kan oppstå og læreren kan her veilede eleven tilbake når læreren er i overvåknings fasen, en rektangulær kake er nok også lettere å måle enn en rund kake og kan også være et punkt til veiledning. Under kan men se en måling av hvor mye en gutt og jente får og se at jentene får litt mer en guttene hver.

 

Gutt

 

Jente

Figur 2

Men den vanskeligste delen for elevene kan bli å finne ut hvor mye større er 3/8 enn 1/3. Om elevene kjenner til å finne fellesnevner kan man forvente at de flere ender opp med 1/24 forskjell på hvor mye kake som er forskjellen. Om ikke elevene kjenner til fellesnevner fra før kan de fortsatt ende opp med 1/24 om elevene deler opp kakene i 24 like deler og teller seg fram til 8/24 og 9/24. Da er brøkene like og de kan regne ut at jentene får 1/24 mer kake.  

Figur 3

 

En elev kan også tenkte at en gutt får 1/3 av kaka så da gir vi først 1/3 kake til jentene og ser hvor mye som er igjen etter det.

Guttene er 3stk og får 1/3 hver

 

Jentene er 8stk og får først 1/3 hver

 

 

Siste 1/3 deles likt på de 8 jentene

Figur 4

Alle jentene har nå fått 1/3 hver og fortsatt så er det 1/3 igjen. Et svar som kan komme da er at guttene får 1/3 og jentene får 1/3 + 1/8 av 1/3. Denne løsningen gir også et svar på oppgaven og kan være en nyttig tilføying i diskusjon og oppsummering av timen.

Om de to strategiene med å enten finne 1/24 ved å tegne opp 24 deler i hver kake inn i og telle seg til forskjellen eller strategien vist ved figur 4, ville jeg først startet med figur 4 strategien. Grunnen til dette er at veien over til å snakke om felles nevner blir lettere når strategiene ved figur 3 er sist.

Til slutt kan det være fint å få med at begge strategiene er gode svar på oppgaven og oppmuntre elevene til å prøve ut sine egne ideer og strategier er viktig for at de skal kunne utvikle sine matematikk kunnskaper.

Håper dette innlegget var til hjelp og lykke til!

Referanser

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis. I J. Hiebert, Conceptual and Procedural Knowledge (ss. 1-27). New York : Lawrence Erlbaum Associates.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). PROBLEM SOLVING AND MODELING. I F. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning (ss. 793-804). Charlotte: Information Age Publishing.

Skemp, R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching , ss. 20-26.

Smith, M., & Stein, M. (2011). 5 Practices for Orchestrating Produktiv Mathematics Discussions. Reston: THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, INC.

Utdanningsdirektoratet. (2019). Kompetansemål og vurdering. Hentet fra Utdanningsdirektoratet: https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv21