ENDRE FEIL MED MÅLRETTET SAMTALE

 Det å kunne argumentere, begrunne, resonnere og kommunisere matematikk, er en viktig del av den matematiske kompetansen som elever skal tilegne seg og utvikle gjennom skolegangen. Dette kommer tydelig fram i kjerneelementene i matematikk som ligger til grunn for den nye læreplanen, kunnskapsløftet 2020. Kjerneelementene i matematikk er utforsking og problemløsning, modellering og anvendelser, resonnering og argumentasjon, reproduksjon og kommunikasjon, abstraksjon og generalisering, og matematiske kunnskapsområder (Utdanningsdirektoratet, 2020.).

For at elevene skal kunne tilegne seg og utvikle den matematiske kompetansen må vi som lærere legge til rette for matematiske samtaler i klasserommet, der elevene for mulighet til å argumentere, begrunne, resonnere og kommunisere matematikk. Det å kunne lede produktive samtaler i matematikk, handler ikke bare om hvordan man ordlegger seg og hvilke spørsmål man stiller. Det handler også om at man må etablere et klasseromsmiljø med fokus på utforsking i matematikk og der det er rom for et mangfold av strategier (Kazemi og Hintz, 2019, s. 9-10).

(GI Online Academy, 2018)

Åpen strategideling

Hvis du noen gang har spurt elevene dine om å forklare hvordan de tenker om en matematikkoppgave, er det stor sjanse for at du allerede har ledet en åpen strategidelingssamtale (Kazemi & Hintz, 2019, s. 29). Matematiske problemer kan løses på flere ulike måter og i åpen strategideling lytter og bidrar elevene på ulike måter for å løse det samme problemet. Målet med åpen strategideling er å vise at det finnes et bredt spekter av ulike måter å løse den samme oppgaven på, og å bygge elevenes repertoar av strategier (Kazemi & Hintz, 2019, s.30).

For å komme i gang med åpen strategideling skriver Kazemi og Hintz (2019) at det må foreligge et par regler som skal gjelde for den matematiske aktiviteten i klasserommet og at læreren må tenke over hva slags samtaletrekk som kan brukes for å føre samtalen framover.

 

 

Samtaltetrekk for å støtte klasseromssamtaler (Kazemi & Hintz, 2019, s.33-34)

Figur 2.1 og figur 2.2 (Kazemi & Hintz, 2019, s.34)

 

For å planlegge en undervisningstime med åpen strategideling starter du med å velge en oppgave som har flere mulige løsningsmetoder, dette for at elevene skal kunne foreslå ulike løsningsforslag. For å være forberedt på de ulike løsningsforslagene elevene kan foreslå, går du gjennom oppgaven på forhånd og noterer ned noen løsningsmetoder du tror vil bli presentert. Det finnes flere måter for hvordan elevene kan dele sine løsningsforslag på, et eksempel er at elevene kan løse oppgaven individuelt, så snakke sammen med læringspartner og sammenligne/se forskjeller på løsningsforslagene, og deretter presenteres ulike løsningsforslag i plenum. Åpen strategideling krever at de sosiomatematiske normene i klasserommet ligger til rette for at elevene tørr å dele og begrunne sine løsningsforslag i plenum, og det må derfor øves og tilrettelegges for det (Kazemi & Hintz, 2019, s. 34-35). 

 

Sosiomatematiske normer

Sosiomatematiske normer i klassen kan skapes for eksempel med at læreren sir: "Hørte dere hva Elijah akkurat sa? Han sa at han ønsker å endre måten han tenkte på. Det er det vi sier i klasserommet vårt når dere ønsker å endre ideene deres." (Kazemi & Hintz, 2019, s. 35). 

I sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in matematics skrevet av Yachel og Cobb (1996) står det at som en del av prosessen for å veilede framgang i et klasserom, vil lærere regelmessig spørre elevene om de har løst et problem på en annen måte. Det var når de analyserte interaksjonene mellom lærerne og elevene de så betydningen av sosiomatematiske normer. Sosiomatematiske normer er konstruert i klasserommet. Det er noe både læreren og elevene påvirker. Det vil være en felles forventning om hva som er akseptert som matematiske begrunnelser i klasserommet. I motsetning til sosiale normer er sosiomatematiske normer spesifikt i matematikksituasjoner. Normene varierer fra klasse til klasse ut fra hvilke forventninger læreren og elevene har til hverandre (Yachel og Cobb, 1996, s. 462-464).

Sosiomatematiske normer har stor betydning for hvordan man gjennomfører undervisning og hvilke svar man forventer av elevene. Det handler om hvordan deltakerne snakker sammen, og bruker språket for å argumentere for et matematisk synspunkt. Det handler også om hvordan elevene evaluerer hva som kjennetegner en god, effektiv eller elegant løsning på et problem (Yachel og Cobb, 1996, s. 461).

En sosiomatematisk norm handler altså om hva som er normen i klassediskusjoner, og hvordan dette påvirker resten av undervisningen. Når man jobber med målrettet samtale, er det en viss type sosiomatematiske normer man ønsker. Det kan for eksempel være at elevene vet at det blir stilt spørsmål til hvordan de har kommet fram til noe, og at selv om de har rett svar så skal svaret begrunnes. Dette kan føre til at elevene ikke har et så stort fokus på å kun få rett svar, men at det blir et fokus på hva de har lært og om de kan vise at de har skjønt svaret de har gitt. Dersom elevene da har svart feil og de får lov til å tenke høyt om resonnementet sitt med læringspartner, eller klassen, kan det være at de kommer fram til at svaret de har gitt ikke er logisk. De stopper opp og tenker at her er det noe jeg må endre for at det skal bli logisk. Dette er noe elevene etter hvert kan klare å gjøre på egenhånd, og de vil da kunne vurdere svarene sine og kontrollere at de faktisk har forstått. Det viktigste er at elevene får tid til å resonnere, og ikke bare avgi et svar og gå videre. 

 

Målrettet samtale

For å kunne lede samtaler i matematikk er det en forutsetning at man først får elevene til å dele sine tanker og strategier, dette kan gjøres gjennom åpen strategideling. Når elevene så har delt sine strategier, så er neste steg hvordan man som lærer kan følge opp strategiene med klare, faglige mål. Det er her den målrettede samtalen skjer (Kazemi og Hintz, 2019, s.10). En målrettet samtale er altså hvordan man som lærer kan lede målrettede, faglige samtaler i matematikk.

Kazemi og Hintz (2019) har ulike strategier for hvordan en kan bruke målrettede samtaler, de ulike strategiene er Sammenlige og knytte sammen, Hvorfor? La oss begrunne, Hva er best og hvorfor, Definere og oppklare og Utforskje feil og endre (Kazemi og Hintz, 2019, s.10). Disse strategiene gir god veiledning på hvordan man kan legge opp matematiske samtaler og lede målrettede samtaler i matematikk. Siden vi i vårt undervisningsopplegg skal utforske feil og endre vil det være naturlig at vi fokuserer på Kazemi og Hintz sin strategi Utforske feil og endre.

Utforske feil og endre

En viktig del av matematikk er å jobbe seg gjennom forvirring og bygge videre på delvis forståelse. Den normen som utvikles i klasserommet og som handler om at elevene lærer av sine feil, er helt avgjørende for å få til en samtale om feil i klassen. Det må være en holdning til at feil også er «ønskelige bidrag». Dette krever at læreren må finne logikken i den delen elevene har forstått, samtidig som læreren tilrettelegger for produktive og sosiale matematiske samtaler som kan hjelpe til med å oppklare og endre feilen som blir presentert (Kazemi og Hintz, 2019, s.134). Hovedfokus her er at elevene behandles som meningsskapere, elevene bidrar til å finne hva som er logikken i feilen, hvorfor det kanskje gir mening at andre har tenkt slik og hva som må endres for at det skal bli rett. Spørsmål som stilles av læreren kan for eksempel være: «Hva tror dere denne matematikeren har tenkt her?» og «hvorfor er det logisk at matematikeren har løst oppgaven på denne måten?».

 

Undervisningsopplegg

Klasse 5a holder på med brøk og etter en undervisningstime med fokus på åpen strategideling i brøkstørrelse (se skjema Åpen strategideling), har det kommet fram et løsningsforslag som er feil. Vi som lærere har fått med oss at det er flere i klassen som gjør denne feilen, derfor planlegger vi en målrettet samtale der vi utforsker feilen og endrer den sammen med klassen neste undervisningstime. Dette for å oppklare mistolkninger som mange i klassen kan ha når det kommer til brøkforståelse. Grunnen til at vi velger målrettet samtale – utforske feil og endre er fordi vi syntes dette er en flott måte å engasjere elevene i klassen, vi ønsker å skape et matematisk miljø der elevene selv bidrar med egne tanker og strategier. Elevene «snakker også samme språk» noe som kan hjelpe de elevene som har denne mistolkningen, fordi de får forklart matematikk på sitt «nivå» av andre elever i klassen.

Skjemaene som er illustrert her er planleggingsmaler som er vedlagt i målrettet samtale av Kazemi og Hintz (s. 158 og 163).

 

Skjemaet Åpen strategideling illustrerer grunnlaget for den planlagte undervisningstimen.

På bakgrunn av denne undervisningstimen ønsker vi derfor å utforske feilen, eller misoppfatningen, sammen med klassen. Grunnen til at vi ønsker å gjøre dette i felleskap er fordi det er mange elever som har denne misoppfatningen, og vi mener elevene i klassen kan bidra til å endre misoppfatningen. Det at elevene selv får utforske og oppklare feil gjør at elevene får mulighet til å argumentere, begrunne, resonnere og kommunisere matematikk, som igjen kan bidra til å utvikle den matematiske kompetansen til elevene.

Skjemaet Utforske feil og endre er en illustrasjon på den kommende undervisningstimen.

Utførelsen av undervisningstimen:

Timen skal starte med at læreren oppsummerer forrige time og presenterer mistolkningen som oppsto hos noen i klassen. Læreren inviterer elevene til å hjelpe med å rette opp i feilen. Først presenteres påstanden «1/5 er mindre enn 1/10 fordi 5ere er mindre enn 10ere» og etterfølges av at elevene skal tenke individuelt om hvorfor det kan være logisk at noen har tenkt slik. Grunnen til at vi ønsker å starte slik er for å framheve for elevene at det er en grunn til at en løsning kan inneholde feil. Vi fortsetter deretter med samtaletrekk snu og snakk ved å la elevene snakke sammen med læringspartner om hva de har tenkt kan være logisk med denne påstanden.

Når elevene snakker sammen med læringspartner, har vi som lærere tenkt å gå litt rundt i klassen å lytte på hva elevene snakker om, dette for å kunne velge ut noen som etterpå skal få presentere sine tanker i plenum. Når elevene deler sine tanker i plenum ønsker vi å bruke samtaletrekkene Gjenta, Repetere og Resonnere. Når logikken i påstanden er synlig for elevene, skal elevene først prate sammen med læringspartner om hvorfor denne påstanden ikke stemmer, og deretter velges noen til å forklare dette i plenum. Her vil det også være gunstig å bruke samtaletrekk, som for eksempel å få en annen elev til å repetere det som ble sagt eller høre om noen har noe å tilføye.

Vi avslutter timen med å gi elevene en utsjekksbillett, der elevene skal forklare hvorfor 1/5 er større enn en 1/10. Dette gjør vi for å sjekke om alle elevene har forstått det vi snakket om.

 

Hvordan undervisninga bygger på forskning, organisering og kommunikasjon.

2nd Handbook

Forskningen gjort i 2nd Handbook (2007), kapittel 14 rational numbers, var på bakgrunn av at mange lærere underviser instrumentelt i brøk. De forskjellige delene i brøk læres ofte uavhengig av hverandre, mens de burde vært lært i sammenheng med hverandre. Matematikk er et komplekst fag, og elevene burde kunne trekke linjer mellom de forskjellige delene i matematikken. Forskningen viser at når elevene fikk jobbe med kreativitet og resonering kunne de overføre kunnskapen sin til ukjente situasjoner og oppgaver. Forskningen tok for seg 7 grupper der en av gruppene var en kontrollgruppe. Kontrollgruppen lærte regler og metoder mens de seks andre gruppene fikk forskjellige tilnærmingsmåter med problemløsning i brøk, der alle de seks gruppene endte opp med bedre sluttresultat enn kontrollgruppen. Resultatet av forskningen konkluderer med at det anbefales en relasjonell undervisningsmåte i brøk (Lamon, 2007).

Begrepsavklaring instrumentelt / relasjonelt

Instrumentell forståelse handler om at man har regler for hver regneoperasjon. For eksempel dersom man jobber med areal, så vil man med instrumentell forståelse måtte ha en bestemt regel for areal av trekant, en for areal av firkant, en for sirkel osv. Instrumentell forståelse handler i stor grad om å gjennomføre regneoperasjoner uten å kjenne til hvorfor man gjør denne operasjonen. Instrumentell forståelse vil være lettere å lære seg, og regningen blir dermed gjennomført fortere. Et eksempel på instrumentell forståelse kan være at eleven kan regne divisjon med brøker, men skjønner ikke hvorfor hen skal flytte og bytte den ene brøken. Relasjonell forståelse handler derimot om få store regler, det vil være mer generaliserbart og det vil være lettere å løse nye problemer. Reglene som lages vil være lettere å huske, fordi man skjønner hva som ligger bak regelen. Relasjonell forståelse kan være et mål i seg selv, og det kan også skape interesse hos elevene (Skemp, 1976). Et eksempel på relasjonell forståelse er at man forstår at forholdet mellom diameter og omkretsen av sirkelen er π, og at man dermed kan komme fram til at man regner omkretsen av en sirkel gjennom formelen 2πr. Et annet eksempel er at eleven kan jobbe med divisjon med brøk, og forstår bakgrunnen for regelen de gjennomfører.

 

Matematiske samtaler

Ove Drageset skriver i Matematikksamtaler (2016) at når lærere ber om forklaring og argumentasjon, krever de mer av elevene. Lærerne ber om evaluering, de lar elevene dele kunnskap og forståelse med hverandre. Han framhever dette særlig fordi lærernes spørsmål i stor grad styrer hvordan elevene tenker og arbeider i faget (Drageset, 2016, s.169).

Siden det å kunne argumentere, begrunne, resonnere og kommunisere matematikk, er en viktig del av den matematiske kompetansen som elever skal tilegne seg og utvikle gjennom skolegangen (Utdanningsdirektoratet, 2020.) må det legges til rette for matematiske samtaler i klasserommet. Derfor vil det være særlig viktig at lærerens spørsmål legger til rette for produktive matematiske samtaler i klasserommet.

Vårt fokus i dette blogginnlegget har vært å utføre matematiske samtaler gjennom Målrettet samtale (2019), med spesielt fokus på å utforske og endre feil, men matematiske samtaler i klasserommet kan foregå på mange forskjellige måter. Drageset (2016) skriver om ulike samtalegrep en lærer kan bruke for å styrke matematiske samtaler i klasserommet og at om en ikke er bevisst på hvordan disse grepene påvirker elevenes læring og tenkning, kan det redusere elevene sine muligheter til å utvikle matematisk kompetanse (Drageset, 2016, s. 178). Vi vil ikke gå nærmere inn på disse samtalegrepene i dette innlegget, men oppfordrer deg til å lese det på egenhånd.

En annen måte man kan strukturere matematiske samtaler på er å bruke Smith og Stein (2018) sine 5 practices for orchestrating productive mathematical discussion der de har fem praksiser som kan hjelpe læreren med å planlegge og lede målrettede matematiske samtaler som tar utgangspunkt i elevenes tenkning (Smith & Stein, 2018). Vi vil heller ikke gå nærmere inn på disse praksisene i dette innlegget, men ønsker å vise deg at det finnes flere måter å drive produktive matematiske samtaler på.

Håper dette har gitt deg litt inspirasjon til å selv lede målrettede matematiske samtaler i klasserommet! XOXO.

Referanser

Drageset, O. G. (2016). Korleis lærarar leier ein matematisk samtale. I R. Herheim & M. Johnsen-Høines (Red.), Matematikksamtaler: Undervisning og læring – analytiske perspektiv (s. 169-179). Bergen: Caspar Forlag AS.

GI Online Academy (2018, 22. juni). Teach Like a Pro - Talk Moves [Videoklipp] Hentet fra: https://www.youtube.com/watch?v=PsKbDMmSqdg 

Kazemi, E. & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale. Oslo: Cappelen Damm AS

Lamon, S. J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning. I: F. K. Lester (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s.629-667). Information Age Publishing: u.s.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching. Hentet 05.10.20. fra: http://www.davidtall.com/skemp/pdfs/instrumental-relational.pdf?fbclid=IwAR0WHYzLkvWMaPF0EtYE0-q0FQ5OUGvTwfqov9fOzTnWvce4S5EDI2SOVE8

Smith, M. S. & Stein, M. K. (2018). 5 practices for orchestrating productive mathematical discussion (2. Utg.) Thousand Oaks, United States: National Council of Teachers of Mathematics,U.S.

Utdanningsdirektoratet. (2020). Kjerneelementer i matematikk. Hentet 05.10.20. fra: https://www.udir.no/lk20/mat01-05/om-faget/kjerneelementer?lang=nob

Yackel, E. and P. Cobb (1996). "Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics." Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477.