11-åringen som kunne algebra

Kandidatnummer 11

På Facebook florerer det av fengende matematikkoppgaver, eksempelvis som denne fra McDonald´s Norges sin Facebook-side:

                Bilde 1 (Svarene er anonymisert)

 

Her kan vi se tre av 3600 svar. Alle disse tre har kommet frem til ulike svar, hvorav en har vist tankegangen sin. Et slikt regnestykke engasjerer tydeligvis mange, men det er vanskelig å bli enig om ett riktig svar. 

La oss tenke oss at regnestykket McDonald´s Norge postet så ut som dette istedenfor:

    Bilde 2

 

Hvor mange kommentarer hadde det da blitt? Jeg vil tippe langt mindre enn 3600. Et regnestykke med pommes fristes og burgere er lettere å relatere seg til enn mange bokstaver. Grunnen til at jeg tar opp dette er at algebra og bokstaver i regnestykker er noe som skremmer mange. Selv om det ikke er enstemmighet på hva fasiten i McDonalds oppgave skulle være, våger folk fortsatt å prøve. Om det derimot kommer bokstaver i et regnestykke rynkes det på nesen. Kan dette henge sammen med hvilket nivå norske elever ligger på med tanke på algebra? I den sammenheng kan jeg trekke frem TIMMS Advanced-resultater (Trends in International Mathematics and Science Study). Mulig du selv har sett overskrifter om dette:

         Bilde 3

 

Her ser vi at det blir sagt at «Norske elever er alarmerende dårlig i algebra (...)» (Fladberg, 2016). Norge og Sverige er de landene som presterer svakest i algebra, i følge TIMMS Advanced (Grønmo, Hole, Onstad, u.å., s. 36). Noen er skeptiske til å bringe algebra tidligere inn i skolen (Carraher & Schliemann, 2007, s. 670). Til tross for dette, er det lurt å få inn «early algebra» tidligere i skolegangen, slik at det kan skapes god forståelse hos elevene.

Derfor vil jeg i dette blogginnlegget se nærmere på forskning innenfor undervisning av «early algebra», videre omtalt som tidlig algebra på norsk. Først vil jeg si noe om algebraiske tilnærminger generelt. I tillegg vil jeg se på kommunikasjon i matematikkundervisning. Til slutt skal jeg presentere et undervisningsopplegg, på bakgrunn av forskningen.

GTG-modellen

Jeg vil starte med å trekke frem en modell Kieran (2007, s. 713) viser i artikkelen «Learning and Teaching Algebra at the Middle School Trough College Levels». Modellen omtales som GTG-modellen, og handler om ulike tilnærminger til algebra.

 

        Bilde 4

Generational/genererende algebra vil si å tolke problemer (tekstoppgaver, tabeller, grafer e.l.), og bruke algebraisk notasjon (språk), eks. ligninger, for å løse problemet. Transformational/transformerende handler på sin side om ferdigheter i algebra, eks. ferdighetene som trengs for å løse en ligning regneteknisk effektivt og riktig. Global/Meta-Level/ressonnerende vil si å kunne bruke algebra i situasjoner hvor metode eller tilnærming ikke er gitt i det virkelige liv (Kieran, 2007, s. 713-714). Det betyr altså at en person klarer selv å se at algebraiske verktøy er effektive i visse situasjoner.

 

Tidlig algebra

Det er noen uenigheter(/issues) innenfor forskningen om tidlig algebra. Jeg vil nevne 2 av disse. Første er at læreren enten kan undervise aritmetikk og algebra som to atskilte områder, eller å utvikle algebraundervisningen fra aritmetikken elevene kan allerede. Aritmetikk er ofte forstått som vitenskapen om tall, slik som regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon), i tillegg til faktorisering og kvadratrøtter. (Carraher & Schliemann, 2007, s. 672+678). Neste punkt handler om symbolsk representasjon, og når algebraisk notasjon (språk) skal erstatte hverdagsspråket til elevene. Noen tenker det bør skje så tidlig som mulig, mens andre vil vente mange år (Carraher & Schliemann, 2007, s. 672). Kanskje bør elevene kunne bestemme selv om de vil bruke hverdagsspråk eller algebraisk notasjon.

        Bilde 5

 
I denne oppgaven kan det være at elevene selv ser at det er tungvint å skrive «antall elever i klasse C» mange ganger, og finner etter hvert ut at «C» er mye enklere. Da har de fått inn algebraisk notasjon fremfor et hverdagsspråk.
 
Så hvordan er det lurt å starte med tidlig algebra? Artikkelen trekker frem tre innfallsvinkler:
·      Aritmetikk og numerisk begrunnelse som innfallsvinkel
·      Aritmetikk og kvantitativ begrunnelse som innfallsvinkel
·      Aritmetikk og funksjoner som innfallsvinkel

Jeg vil fokusere på «Aritmetikk og funksjoner som innfallsvinkel» i mitt undervisningsopplegg, og forklarer derfor kun denne nærmere. Schwartz (1999, i: Carraher & Schliemann, 2007, s. 687) har foreslått å starte med funksjoner, fremfor ligninger, når elevene skal starte med tidlig algebra. Dette vil føre til at elevene kan forstå bokstavene som variabler, istedenfor ukjente. Moss et.al. har forsket på 2. og 4.klassinger og deres møte med geometriske mønster og algebra (Moss et. al., i Carraher & Schliemann, 2007). Der gav hun blant annet 4.klassingene denne oppgaven:

        Bilde 6

Det hun kom frem til var at elevene klarte å finne mønsterregler, se sammenhenger mellom mønstrene, se sammenhengen mellom ulike representasjonsformer, og endte dermed opp med å forstå sammenhengen mellom 2 variabler i et problem. I tillegg klarte elevene å bruke matematiske symbol, og kunne bevise og rettferdiggjøre fremgangsmåten sin (Carraher & Schliemann, 2007, s. 689). Denne innfallsvinkelen faller inn under det som kalles genererende algebra (i GTG-modellen). Selv om elevene nok løser oppgavene på ulike måter, skal de tolke et problem, og finne løsning på dette. I Moss et.al. sin forskning handler ofte problemene om geometriske mønster. De klarer å bruke matematiske symbol, som henger sammen med tanken om å bruke algebraisk notasjon (språk) under genererende algebra.

 

Kommunikasjon

Siden overgang fra hverdagsspråket til algebraisk notasjon er viktig, vil jeg trekke frem noen punkter om kommunikasjon og målrettet samtale. Før det vil jeg kort si hvordan det kan legges til rette for god kommunikasjon. Det handler i hovedsak om de sosiomatematiske normene i klasserommet. Sosiomatematiske normer er felles oppfatninger/forventninger om hva som er akseptert som matematiske begrunnelser og forklaringer i klasserommet, når det eksempelvis kommer til effektivitet eller begrunnelse på svar gitt i matematikktimer (Yackel & Cobb, 1996). Kazemi og Hintz (2019) skriver også om at det trengs klare rammer som hjelper elevene til å vite hva de skal dele og hva en god forklaring skal inneholde (Kazemi & Hintz, 2019, s. 14). I tillegg vil gode samtaler i klasserommet kunne bygge opp fellesskapsfølelsen (Kazemi & Hintz, 2019, s. 26).

 

Sammenligne og knytte sammen

Alle elevene i et klasserom er ulike, og de kommer dermed til å bruke flere ulike strategier. Om disse undersøkes, og elever ser forskjeller og likheter, blir elevene oppmerksom på de matematiske ideene i en strategi. Dette kan for eksempel gjøres når en oppgave som gis på skolen løses på flere måter, for å hjelpe elever å forstå strategiene som deles eller for å utvikle mer avanserte strategier (Kazemi & Hintz, 2019, s. 69-70).

Før samtalen og sammenligningen starter burde læreren avgjøre hvilke strategier som skal være i fokus (gjerne bare 2 om gangen). Det er også nyttig å identifisere hva som er viktig å legge merke til. Læreren burde gjerne forsøke å forutse hva elevene kan svare, og hvilke svar som da kan gis. Det er også fint å ha en matematisk idé eller et mål som oppnås gjennom samtalen (Kazemi & Hintz, 2019, s. 54). Dette kan gjøres ved å fylle ut et skjema, og det vil jeg vise et eksempel på under «Undervisningsopplegg på 6.trinn».

Stein og Smith (2011) skriver om noe som kalles for «5 practices» for å strukturere gode, matematiske diskusjoner (Stein og Smith, 2011). Disse 5 punktene er (oversatt): Forutse/anta, overvåke, utvelgelse, rekkefølge og koble samme. Første og andre punktet til Smith henger godt sammen med Kazemis & Hintzs tanker rundt «sammenligne og knytte sammen». Punktet om å forutse/anta, handler om å tenke ut hvilke elevsvar som kan komme med. Dette burde også gjøres før læreren skal ha diskusjonen «Sammenligne og koble sammen». Overvåke-fasen handler om å følge med på hva elevene gjør, og dette kreves jo også når læreren skal sjekke at strategien som skal sammenlignes, faktisk blir brukt.

Undervisningsopplegg på 6.trinn

 

 

                    Bilde 7

Jeg vil først vise elevene de første 20 sekundene av filmen ovenfor, så sette den på pause (og lar bilde stå slik videre). Deretter ønsker jeg at de skal arbeide i par, for å se om de ser noen mønster, og passer på at alle har forstått oppgaven, siden filmen er på engelsk. Jeg ønsker også at de skal tegne neste figur. Det å arbeide med andre kan føre til stort læringsutbytte siden de lytter, responderer og engasjerer seg i hverandres ideer (Kazemi & Hintz, 2019, s. 26). 

Ut fra forskningen til Moss et.al, vil elever klare å finne mønsterreglene i denne oppgaven. Målet er derfor at elevene skal sette ord på det de ser, og på denne måten finne sammenhenger mellom mønstrene og se hvordan det skjer økninger fra en figur til neste, altså å se sammenheng mellom to variabler.

Deretter, skal vi i en klassediskusjon bruke «Sammenligne og koble sammen», for å sammenligne hva de ulike har funnet av mønster, og hvilke strategier som er brukt. Lærer har på forhånd fylt ut dette skjema som skal hjelpe til å holde samtalen i gang:

                     Bilde 8

 

Når vi har hatt god diskusjon ut fra de to strategiene i tabellen, og fått frem hva som ligger bak strategiene, kan vi se resten av filmen ferdig, og gjerne sette på pause for å gjenta/oversette underveis. Det er da ønskelig at elevene skal se om de gjenkjenner en eller flere av strategiene som blir vist frem i videoen.

Etter dette ønsker jeg at elevene i par kan finne ut hvor mange blå ruter det blir på figur nr.12, og de velger selv hvordan de vil løse det. Dersom elevene virker klar for det, eller allerede har kommet frem til et uttrykk med eller uten algebraisk notasjon for å beskrive dette, jobbes det videre med dette også, men det er ikke et mål i seg selv å klare det allerede på 6.trinn. 

På denne måten får elevene brukt ordene sine i samtale med partneren, og de øver på å begrunne og rettferdiggjøre svarene sine, i tillegg til å bruke matematisk språk. Dette er det Moss et.al. har funnet ut elevene klarer.

Vurdering

Til slutt vil jeg si noe om formativ vurdering/underveisvurdering i dette undervisningsopplegget. Wiliam (2017) skriver om ulike måter man kan gjennomføre formativ vurdering i skolen.I dette opplegget tenker jeg det er fint å se nærmere på det han omtaler som: «Activating Learners as Instructional Resources for One Another». Dette handler altså om at elevene i klassen skal være læringsressurser for hverandre. Fire nøkkelpunkt underbygger at samarbeid er bra. For det første, det skaper motivasjon fordi det er av egen interesse å hjelpe andre. For det andre skaper det sosialt samhold, fordi man bryr seg om de i gruppen og derfor hjelper andre. Dette henger sammen med det Kazemi & Hintz (2019) sier om at klasseromsdiskusjoner kan bygge opp fellesskapsfølelsen.Tredje punkt er persontilpasning, fordi en medelev vanligvis vil forklare noe på en enklere og mer forståelig måte enn det en lærer vil gjøre. Og til slutt kognitiv utdypning siden eleven ved å forklare andre noe må tenke bedre gjennom forklaringen sin (Wiliam, 2017). 

I dette opplegget ønsker jeg at det skal fokuseres på tre teknikker innenfor denne typen vurdering: utdypende svar, spørsmål gruppevis og elevrapport. Utdypende svar handler om at eleven må forklare hvorfor svaret er riktig, og ikke bare gi svaret. Dette gjøres både når de arbeider i par, og når de forteller noe til resten av klassen. Spørsmål gruppevis vil si at elevene diskutere sammen (her i par) de spørsmålene som blir gitt. Elevrapport handler om at det i en gruppe/et par diskuteres hva de har lært, og kan de forteller det til resten av klassen. Dersom vi ser på dette opp mot «sammenligne og knytte sammen», er det fint om læreren passer på at elevene faktisk begrunner det de deler i klassediskusjonen. I tillegg kan det være lettere for elevene å bidra i klassediskusjon når de allerede har satt ord på tankene sine med en medelev.

Ut fra forskningen ser vi at det er mulig for unge elever å bygge opp en algebraisk forståelse. Denne forståelsen kan bygges på den aritmetikken elevene allerede kan. Og etter det presenterte undervisningsopplegget vil (forhåpentligvis) en 11-åring/6.klassing kunne si at «ja, jeg kan allerede noe om algebra – og ønsker å lære enda mer!». Den algebraiske notasjonen og enda dypere forståelse kommer senere i utdanningsløpet.  

Litteratur

·        Carraher, D. W. & Schliemann, A. D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning. I: F. K. Lester (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing: u.s..

·      Fladberg, K. L. (2016, 29.november). Det har gått fra vondt til verre. Dagsavisen. Hentet fra: https://www.dagsavisen.no/nyheter/innenriks/det-har-gatt-fra-vondt-til-verre-1.848461

·      Grønmo, L. S., Hole, A. & Onstad, T. (u.å.). Hovedresultater i matematikk i TIMSS Advnces, TIMMS og PISA. u.d.: Universitetet i Oslo. Hentet fra: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj0p6bY2IvsAhWuk4sKHekpC-cQFjACegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fpress.nordicopenaccess.no%2Findex.php%2Fnoasp%2Fcatalog%2Fview%2F26%2F105%2F632-1&usg=AOvVaw1cYM---KhnEGOVXxsdvrtA

·      Kazemi, E. and A. Hintz (2019). Målrettet samtale: Hvordan strukturere og lede gode matematiske samtaler. Cappelen Damm Akademisk.

·      Kieran, C. (2007). Learning and Teaching Algebra at the Middle School Trough College Levels. Building Meaning for Symbols and Their Manipulation. I: F. K. Lester (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing: u.s..

·      Stein, M.K., Smith, M.S. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics iscussions. NCTM

·      Wiliam, D. (2017). Embedded formative assessment. Bloomington, IN: Solution Tree.

·      Yackel, E. and P. Cobb (1996). "Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics." Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477. England.

Bilder

Bilde 1: https://www.facebook.com/mcdonaldsnorge/photos/hva-med-en-liten-mattenøtt-vet-du-svaret-maccern-sundayfunday/10155884050554606/

Bilde 2: Laget selv.

Bilde 3: https://www.dagsavisen.no/nyheter/innenriks/det-har-gatt-fra-vondt-til-verre-1.848461

Bilde 4: Kieran, C. (2007). Learning and Teaching Algebra at the Middle School Trough College Levels. Building Meaning for Symbols and Their Manipulation. I: F. K. Lester (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing: u.s.

Bilde 5: Laget selv.

Bilde 6: s. 689 i Carrier, D. W. & Schliemann, A. D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning. I: F. K. Lester (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing: u.s..

Bilde 7: Skjermbilde fra YouTube-filmen: https://www.youtube.com/watch?v=No4VLQLrdr0 

Bilde 8: Laget ut fra malen s. 159 i Kazemi, E. and A. Hintz (2019). Målrettet samtale: Hvordan strukturere og lede gode matematiske samtaler. Cappelen Damm Akademisk.

 

Video fra YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=No4VLQLrdr0